Polinomi Dominio di Integrità

[Leonardo202]

Salve sto cercando di capire la dimostrazione di questo teorema per induzione, che dice:
se R[x] è un dominio di integrità, allora se il grado f(x) è n, f(x) ammette al piu n radici distinte..

la dimostrazione per induzione comincia in questo modo, ossia
se considera un polinomio di grado 1, avrò che esso deve possedere al massimo 1 radice, poichè se per assurdo, ne possiede 2, per
il teorema di ruffini, x-c1 e x-c2 divide f(x), ma ciò è impossibile..
ecco proprio questo non riesco a capire
perchè è impossibile??
grazie

[Gi81]

Se $x-c_1|f(x)$ e $x-c_2|f(x)$ con $c_1!=c_2$, allora $(x-c_1)(x-c_2)|f(x)$

Ma $(x-c_1)(x-c_2)$ è di grado 2 e non può dividere $f(x)$ che è di grado 1

[Leonardo202]

ok grazie perfetto, naturalmente essendo dominio di integrità vale la regola di addizione dei gradi e quindi non è possibile..
ora ti chiedo un piacere..
supposto vero che questa proprietà vale per ogni polinomio h(x)
compreso tra 1<=h(x) come posso dimostrare che tale proprietà è vera anche per n e quindi concludere la dimostrazione??
grazie mille..

[Gi81]

Beh, puoi dire che se $f(x)$ è di grado $n$, ha al massimo una radice in più di un polinomio di grado $n-1$
(E la dimostrazione è uguale a quella precedente)
Quindi, poichè un polinomio di grado $n-1$ ha al massimo $n-1$ radici, $f(x)$ ha al massimo $n$ radici

[Leonardo202]

scusami potresti essere piu' chiaro..
non riesco a capire..
non dirmi niente magari anche se spendi qualche parolina in piu' cosi capisco meglio
grazie

[Gi81]

"Gi8":se $f(x)$ è di grado $n$, ha al massimo una radice in più di un polinomio di grado $n-1$

Immagino sia questo che non ti è chiaro.
Se per assurdo $f(x)$ (di grado $n$) avesse almeno due radici in più ($c_1$,$c_2$) di un polinomio $g$ di grado $n-1$, allora
$(x-c_1)|f(x)$, $(x-c_2)|f(x)$ e $g(x)|f(x)$. Dunque... (stesso ragionamento di prima)

[Leonardo202]

senti ma per quanto riguarda il caso base, posso semplicemente dire che non puo ammettere due radici perchè
f(x) non puo essere riscritto come prodotto di (x-c1)(x-c2) essendo appundo di grado 1?
e valendo la regola di addizione dei gradi?

[Gi81]

Sì, proprio così.
Anzi, puoi dirlo in generale per ogni polinomio di grado $n$ (evitando questa fastidiosissima dimostrazione per induzione):
Se $f(x)$, di grado $n$, avesse almeno $n+1$ radici (contate con la loro molteplicità),
chiamate $c_1,c_2,...c_n,c_(n+1)$ tali radici, si avrebbe
$(x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n)(c_(n+1))|f(x)$ e ciò non è possibile, valendo la regola di addizione dei gradi

[Leonardo202]

il fatto è che la mia prof, il passo induttivo l'ha dimostrato sfruttando l ipotesi del dominio di integrità in cui non ci devono essere divisori dello zero, solo che non avendo scritto bene gli appunti non riesco a capire, tu non sai come fare?

[Leonardo202]

inizia dicendo che se il gradi di f(x) è n allora esistono m1,m2...mn radici e dobbiamo dimostrare che m<=n..poi non riesco a capire piu'

[Gi81]

Probabilmente dirà che se per assurdo $m>n$ allora $(x-m_1)*...*(x-m_m)|f(x)$ e questo è impossibile.

[Leonardo202]

usa l immagine polinomiale, e verifica che è assurdo poichè il prodotto di due polinomi non puo fare 0, se x-c divide f ma non capisco poi come dimostra il tutto..

[Gi81]

Boh! Mi sembra tutto più complicato di quello che dovrebbe essere.
Non riesco proprio a capire la dimostrazione del tuo prof, tra l'altro al momento non mi sovviene in mente cosa sia "l'immagine polinomiale"
In ogni caso, le due dimostrazioni che ti ho proposto prima sono corrette (e più semplici)
Se vuoi maggiori delucidazioni, attendi qualcun altro

[Leonardo202]

"Gi8":[quote="Gi8"]se $f(x)$ è di grado $n$, ha al massimo una radice in più di un polinomio di grado $n-1$

Immagino sia questo che non ti è chiaro.
Se per assurdo $f(x)$ (di grado $n$) avesse almeno due radici in più ($c_1$,$c_2$) di un polinomio $g$ di grado $n-1$, allora
$(x-c_1)|f(x)$, $(x-c_2)|f(x)$ e $g(x)|f(x)$. Dunque... (stesso ragionamento di prima)[/quote]

ok ma qui l iptesi induttiva dove viene sfruttata?

[Leonardo202]

cioe io ragiono per assurdo che f(x) abbia due radici in piu rispetto ad un polinomio g(x) con grado n-1, e poi come continuo? questo non riesco a capire..scusami..

[Gi81]

Viene sfruttata nel seguito:

"Gi8":Quindi, poichè un polinomio di grado $n-1$ ha al massimo $n-1$ radici, $f(x)$ ha al massimo $n$ radici

[Leonardo202]

quindi in definitiva mi basta semplicemente dire che se un polinomio f(x) di grado n, ha piu radici di n, ossia due radici in piu di un polinomio g(x) con grado n-1 (il quale ha al piu' n-1 radici per ipotesi di induzione) ciò non puo essere vero poichè altrimenti f(x) potrebbe essere scritto come f(x)=g(x)*(x-c1)*(x-c2) ma per la somma dei gradi sarebbe maggiore di f(x) giusto?

[Gi81]

Giusto