Polinomi domanda stupida

[delca85]

Ciao ragazzi!Scusate la stupidità della domanda,ma sto cercando di studiare algebra praticamente da sola e ho bisogno di una mano.
Come faccio a determinare tutti i polinomi $f$ di $QQ_[x] : f(0)=2$,$f(2)=1$ e $f(3)=3$?Se ne devo trovare uno solo impongo le richieste e ok ma per trovarli tutti come devo fare?So che il termine noto deve essere 2 ma per il resto non so come fare.
Grazie!

[codino75]

sono quasi ingegnere e so poco di algebra...
cmq, se il grado del polinomio e' fissato, non puoi fare un banale sistema con tutte le condizioni che hai?
scusa se ho scritto cose ovvie.
alex

[delca85]

E' che il grado non è fissato,Questo è il mio problema.Non ti preoccupare per le cose ovvie,anzi grazie.

[codino75]

ok, allora lascio.
saluti

[delca85]

Ok grazie lo stesso.Help me!!!!

[ficus2002]

"delca85":Come faccio a determinare tutti i polinomi $f$ di $QQ_[x] : f(0)=2$,$f(2)=1$ e $f(3)=3$?

Sia $f$ un polinomio che soddisfa le richieste. Se $g$ è un altro polinomio che soddisfa le richieste, allora $f-g$ ha tre radici: $0,2,3$; così $f(X)-g(X)=X(X-2)(X-3)*q(X)$ per qualche polinomio $q$.

[gugo82]

"delca85":Ciao ragazzi!Scusate la stupidità della domanda,ma sto cercando di studiare algebra praticamente da sola e ho bisogno di una mano.
Come faccio a determinare tutti i polinomi $f$ di $QQ_[x] : f(0)=2$,$f(2)=1$ e $f(3)=3$?Se ne devo trovare uno solo impongo le richieste e ok ma per trovarli tutti come devo fare?So che il termine noto deve essere 2 ma per il resto non so come fare.
Grazie!

Se hai tre ralazioni puoi conoscere subito un polinomio $p(X) in QQ[X]$ di grado due che verifichi le tue condizioni: invero, posto $p=aX^2+bX+c$ le tue condizioni implicano che tra i coefficienti di $p$ sussistono le relazioni:

$\{(c=2),(4a+2b+c=1),(9a+3b+c=3):}$

quindi riesci a determinare facilmente $a=5/6,b=-(13)/6,c=2$ (sempre se non ho sbagliato i conti!).
Fatto ciò, noti che ogni polinomio $f(X) in QQ[X]$ verificante le condizioni dell'esercizio differisce da $p(X)=5/6X^2-(13)/6X+2$ per un polinomio $q(X)$ tale che $q(0)=q(2)=q(3)=0$: perciò tutti i polinomi di $QQ[X]$ tali che $f(0)=2$, $f(2)=1$ ed $f(3)=3$ sono quelli della famiglia:

${5/6X^2-(13)/6X+2+q(X), " con " q in QQ[X]:quad q(0)=q(2)=q(3)=0}$.

Per essere ancora più precisa, puoi affermare certamente che un polinomio come $q(X)$ che abbia $0,2,3$ come radici è del tipo $X*(X-2)*(X-3)*r(X)$, con $r(X) in QQ[X]$: quindi la tua famiglia si può scrivere come:

$5/6X^2-(13)/6X+2+X*(X-2)*(X-3)*QQ[X]={5/6X^2-(13)/6X+2+X*(X-2)*(X-3)*r(X)}_(r(X)in QQ[X])$.

Nota, per inciso, che tutti i polinomi di questa famiglia hanno grado $ge2$.

Spero di essere stato d'aiuto.
Buono studio, che Algebra è difficilotto come esame.

[delca85]

Perfetto!Sei stato davvero di grandissimo aiuto e chiarissimo!Grazie mille.