Polinomi di grado negativo?
Ciao, amici! Fino ad oggi davo per scontato che un polinomio potesse avere solo grado non negativo. La definizione scolastica di polinomio e l'utilizzo che si fa di questo oggetto matematico nei libri di analisi mi pare che concordino su questo.
Trovo invece, sulla mia prima lettura "seria" di algebra (una breve appendice a Sernesi, Geometria I), il riferimento esplicito a polinomi di grado positivo, che mi parrebbe interpretabile comunque, dato il polinomio $f(X)$, come $"gr"(f)\geq 0 => "gr"(f) \ne 0$, senonché noto che nella definizione data appunto dal Sernesi si dice che il grado è un "intero", che non so se possa significare solo $NN uu{0}$ o anche i negativi...
Qualcuno mi aiuterebbe a schiarirmi le idee?
Grazie di cuore a tutti!!!
Trovo invece, sulla mia prima lettura "seria" di algebra (una breve appendice a Sernesi, Geometria I), il riferimento esplicito a polinomi di grado positivo, che mi parrebbe interpretabile comunque, dato il polinomio $f(X)$, come $"gr"(f)\geq 0 => "gr"(f) \ne 0$, senonché noto che nella definizione data appunto dal Sernesi si dice che il grado è un "intero", che non so se possa significare solo $NN uu{0}$ o anche i negativi...
Qualcuno mi aiuterebbe a schiarirmi le idee?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Trovi qui qualche accenno:
http://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_polynomial
A meno che il libro non si riferisca semplicemente alla definizione, a volte usata, di grado che assegna a 0 grado negativo.
http://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_polynomial
A meno che il libro non si riferisca semplicemente alla definizione, a volte usata, di grado che assegna a 0 grado negativo.
Il grado di un polinomio, per definizione è un intero positivo.
Considera $P= { (a_0,a_1,.................,a_n,0,..........) | a_0,a_1,...,a_n in A , tc EE n_0 in N t.c AA n>=n_0 : a_n=0}$
$ = {(a_n)_(n in NN) | EE n_0 in NN t.c AA n>=n_0 : a_n=0}$ cioè P è l'insieme delle successioni definitivamente nulle a coefficienti in $A$, A anello. Gli elementi di tale insieme vengono detti polinomi a coefficienti in $A$.
Considera ora $Supp((a_n)_(n in NN)) = { n in NN | a_n!=0}$
Allora , se f è un polinomio, si dice grado del polinomio, si denota con $deg(f)$
il $maxSupp((a_n)_(n in NN)) = max{ n in NN | a_n!=0}$.
Ora essendo $Supp((a_n)_(n in NN)) sube NN$ non può che essere $deg(f)>=0$.
Forse se in un espressione del tipo $x^-2+x+2$ compare un $-2$ è da intendersi che quella è semplicemente una scrittura formale del tipo $1/x^2+x+2$.
A riguardo, qualcuno più esperto di me saprà dirti di più XD
Note terminologiche :
Considera $P= { (a_0,a_1,.................,a_n,0,..........) | a_0,a_1,...,a_n in A , tc EE n_0 in N t.c AA n>=n_0 : a_n=0}$
$ = {(a_n)_(n in NN) | EE n_0 in NN t.c AA n>=n_0 : a_n=0}$ cioè P è l'insieme delle successioni definitivamente nulle a coefficienti in $A$, A anello. Gli elementi di tale insieme vengono detti polinomi a coefficienti in $A$.
Considera ora $Supp((a_n)_(n in NN)) = { n in NN | a_n!=0}$
Allora , se f è un polinomio, si dice grado del polinomio, si denota con $deg(f)$
il $maxSupp((a_n)_(n in NN)) = max{ n in NN | a_n!=0}$.
Ora essendo $Supp((a_n)_(n in NN)) sube NN$ non può che essere $deg(f)>=0$.
Forse se in un espressione del tipo $x^-2+x+2$ compare un $-2$ è da intendersi che quella è semplicemente una scrittura formale del tipo $1/x^2+x+2$.
A riguardo, qualcuno più esperto di me saprà dirti di più XD
Note terminologiche :
"Odexios":
Trovi qui qualche accenno:
http://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_polynomial
A meno che il libro non si riferisca semplicemente alla definizione, a volte usata, di grado che assegna a 0 grado negativo.
Si, per lo zero,alcuni autori danno grado o $-1$ oppure $-\infty$
$+oo$ grazie, ragazzi! Mi avete salvato dal dare interpretazioni fuorvianti alla definizione di polinomio...
prego!!
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