Polinomi ciclotomici

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Non riesco proprio a dimostrare che per i polinomi ciclotomici $\Phi_k$ vale, per $n>2$ dispari, l'uguaglianza\[\Phi_{2n}(X)=\Phi_n(-X)\]Cercando informazioni in rete ho scoperto la rappresentazione dell'$n$-esimo polinomio ciclotomico utilizzando l'inversione di Möbius $\prod_{d|n}(X^{n/d}-1)^{\mu(d)}$, ma non riesco ad applicarla a questo caso...
Qualcuno ha qualche idea?
Inoltre volevo chiedere proprio circa l'applicazione dell'inversione di Möbius: il documento linkato prova che $F(n)=\prod_{d|n}f(d)\Rightarrow f(n)=\prod_{d|n}F(n/d)^{\mu(d)}$, e l'analogo per le somme, nel caso specifico di \(F,f:\mathbb{Z}^{+}\to\mathbb{Z}^{+}\), ma mi pare che la dimostrazione valga anche per \(F,f:\mathbb{Z}^{+}\to R\) con qualunque anello commutativo $R$ come codominio, giusto? Chiedo questo perché in algebra non direi proprio che \(\Phi_k\) sia da considerarsi in generale una funzione \(\mathbb{Z}^{+}\to\mathbb{Z}^{+}\).
$\infty$ grazie a tutti!!!

EDIT: correzione (in grassetto) effettuata grazie a totissimus.

[DavideGenova1]

Per \(\Phi_{2n}(X)=\Phi_n(-X)\) credo di esserci. Riscrivo $\Phi_n(X)=\prod_{d|n}(X^{n/d}-1)^{\mu(d)}$ come $\prod_{d|n}(X^{d}-1)^{\mu(n/d)}$, che mi pare equivalente. Quindi mi pare che, per $n\geq 3$ dispari (fatto usato nell'ultima uguaglianza della seconda riga), si abbia
$\Phi_{2n}(X)=\prod_{d|2n}(X^{d}-1)^{\mu({2n}/d)}=\prod_{d|n}(X^{d}-1)^{\mu({2n}/d)}(X^{2d}-1)^{\mu({2n}/{2d})}$
$=\prod_{d|n}(X^{d}-1)^{-\mu({n}/d)}(X^{d}+1)^{\mu({n}/d)}(X^{d}-1)^{\mu({n}/d)}=\prod_{d|n}-((-X)^{d}-1)^{\mu({n}/d)}$
$=\prod_{d|n}((-X)^{d}-1)^{\mu({n}/d)}=\Phi_{n}(-X)$ perché per $n$ dispari il numero dei fattori della produttoria rappresentato dal valore assunto dalla funzione di Eulero \(\varphi(n)\) è pari in quanto nella produttoria che ne esplicita il calcolo compare un fattore di tipo $p_{\rho}-1$ con $p_{\rho}$ primo dispari.
Spero di non aver detto scemenze. Rimane comunque la domanda sull'applicabilità dei teoremi 2 e 3 qui a \(F,f:\mathbb{N}\setminus\{0\}\to R\) con $R$ anello commutativo...
Grazie ancora a tutti!!!

[totissimus]

"DavideGenova":Ciao, amici! Non riesco proprio a dimostrare che per i polinomi ciclotomici $\Phi_k$ vale l'uguaglianza\[\Phi_{2n}(X)=\Phi_n(-X)\]

Scusami, ma forse non ho capito bene oppure hai sbagliato a scrivere perchè per esempio \( \phi_4(x)=1+x^2\) e \( \phi_2(x)=1+x\) e \( \phi_4(x) \neq \phi_2(-x)\).

[DavideGenova1]

Uh, sì, grazie per l'appunto, come scritto nella dimostrazione di sotto si tratta di $n>2$ dispari! Mi scuso per la distrazione...