Polinomi ( Anelli )
Salve vi chiedo una mano su questi due esercizi nell'immagine caricata. Mi sapreste spiegare come procedere passo per passo. Vi ringrazio 
Risposte
Tentativi tuoi? Dov'è che trovi delle difficoltà, in particolare?
sinceramente non saprei come cominciare, perchè non ho esercizi svolti! e studiando la teoria non saprei dove mettere mani per iniziare.... quindi ho difficoltà su tutti i punti.... mi servirebbe capire come procedere su tutti i punti in modo poi da fare esercizi per conto mio ....help me!!!
Allora, partendo dal primo: hai un polinomio, \(f\) a coefficienti in \(\mathbb{Z}_3\). Questo polinomio è riducibile su \(\mathbb{Z}_3\)?
vediamo un pò...
in $ZZ_3$ non ha radici, per $f(0)$=1 per $f(1)$=2 per $f(2)$=1 quindi dovrebbe essere irriducibile
in $ZZ_3$ non ha radici, per $f(0)$=1 per $f(1)$=2 per $f(2)$=1 quindi dovrebbe essere irriducibile
E cosa sai a proposito dell'anello di polinomi a coefficienti in $\mathbb{Z}_3$ (o in generale a coefficienti in un campo)? E dunque cosa si conclude a proposito di ideali generati da elementi irriducibili?
Non avendo radici non è un campo ? Giusto?
Chi è il soggetto della tua domanda?
Se il soggetto è $\mathbb{Z}_3$, $\mathbb{Z}_3$ è un campo. Infatti ha solo due elementi non nulli: $[1]_3$, che ha inverso $[1]_3$ e $[-1]_3$ che ha inverso $[-1]_3$.
Se il soggetto è $\mathbb{Z}_3$, $\mathbb{Z}_3$ è un campo. Infatti ha solo due elementi non nulli: $[1]_3$, che ha inverso $[1]_3$ e $[-1]_3$ che ha inverso $[-1]_3$.
Sto parlando di A . Primo punto del primo esercizio
Ma la mia domanda era diversa. Proprio perche' $f$ e' irriducibile, \( A = \mathbb{Z}_3[x]/(f) \) e' un campo.
Per capire il motivo, ripropongo le mie due domande precedenti:
Per capire il motivo, ripropongo le mie due domande precedenti:
E cosa sai a proposito dell'anello di polinomi a coefficienti in $\mathbb{Z}_3$ (o in generale a coefficienti in un campo)? E dunque cosa si conclude a proposito di ideali generati da elementi irriducibili?
Ahhh ok ... adesso ho capito ... su questa cosa ero confuso ... per andare avanti , come si procede?
... su questa cosa ero confuso ... per andare avanti , come si procede?
Beh, avendo risposto correttamente alla prima domanda, la risposta alla seconda dovrebbe venire da sé... o no? 
ecco ... è qui il problema... non saprei come procedere all'esame nel calcolo dei successivi punti, e per il secondo esercizi è ancora peggio... sinceramente non riesco a capire.
Allora, pensa alle definizioni di: campo, dominio e divisore dello zero. Me le sapresti scrivere?
Si ha un campo quando tutti gli elementi non nulli sono invertibili.
Il dominio è un insieme in cui può essere definita una funzione.
Divisore dello zero non mi è chiara...
Il dominio è un insieme in cui può essere definita una funzione.
Divisore dello zero non mi è chiara...
"banino84":
Si ha un campo quando tutti gli elementi non nulli sono invertibili.
Può andare...
"banino84":
Il dominio è un insieme in cui può essere definita una funzione.
Non in questo contesto, stiamo parlando di strutture algebriche, "dominio" è una forma abbreviata per "dominio d'integrità". Conosci questa struttura?
"banino84":
Divisore dello zero non mi è chiara...
Un divisore dello zero in un anello \(A\) è un elemento \(a \in A, \ a \ne 0_A\) tale che esiste \(b \in A, \ b \ne 0_A\) e \( ab = 0_A\). Il fatto che tu non conosca una definizione usata dal tuo professore non è un buon segno, forse è il caso che studi un po' la teoria prima di iniziare a fare degli esercizi.
Puoi riscrivere le 3 domande nel primo esercizio come:
(1) L'ideale \(\displaystyle (f) \) è massimale?
(2) Esiste \(\displaystyle \beta \in \mathbb{Z}_3[x] - (f) \) tale che \(\displaystyle \alpha\beta \in (f) \) oppure \(\displaystyle \beta\alpha \in (f) \)?
(3) Trovare un elemento \(\gamma \in \mathbb{Z}_3[x] - (f)\) tale che \(\displaystyle (\beta\gamma -1), (\gamma\beta-1)\in (f) \).
(1) L'ideale \(\displaystyle (f) \) è massimale?
(2) Esiste \(\displaystyle \beta \in \mathbb{Z}_3[x] - (f) \) tale che \(\displaystyle \alpha\beta \in (f) \) oppure \(\displaystyle \beta\alpha \in (f) \)?
(3) Trovare un elemento \(\gamma \in \mathbb{Z}_3[x] - (f)\) tale che \(\displaystyle (\beta\gamma -1), (\gamma\beta-1)\in (f) \).
"banino84":
Il dominio è un insieme in cui può essere definita una funzione.
Non in questo contesto, stiamo parlando di strutture algebriche, "dominio" è una forma abbreviata per "dominio d'integrità". Conosci questa struttura?
Il campo dovrebbe essere una struttura algebrica. Anche un anello
"banino84":
[quote="banino84"]Divisore dello zero non mi è chiara...
[/quote]
Un divisore dello zero in un anello \(A\) è un elemento \(a \in A, \ a \ne 0_A\) tale che esiste \(b \in A, \ b \ne 0_A\) e \( ab = 0_A\). Il fatto che tu non conosca una definizione usata dal tuo professore non è un buon segno, forse è il caso che studi un po' la teoria prima di iniziare a fare degli esercizi.
Il problema che questo è il mio ultimo esame ed è tra qualche giorno. Non ho più tempo e ne voglio di ripeterlo. Vorrei capire solo qualche procedimento per risolvere gli esercizi. Io sono un tipo pratico la teoria la capisco vedendo svolgimenti
per questo chiedo un esempio di svolgimento degli esercizi che ho proposto
Ti ho riscritto il problema come un problema in \(\mathbb{Z}_3[x]\). Cominciamo dal primo, quando un ideale in un PID è massimale (in realtà è anche euclideo ma per ora direi che essere a ideali principali è sufficiente)? Nota che a questo hai praticamente già risposto ma manca lo scriverlo per bene.
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