Polinomi
Ragazzi non riesco a capire cosa chiede questo esercizio:
Determinare per quali valori del parametro k il polinomio $x^4-k*x^2+2-i$ è divisibile per $x-1$ .
Come si determinano i valori del parametro k?
Potete darmi una mano???
PS: Ho provato a svolgere prima la divisione considerando k come un coefficiente qualsiasi ma non so se è corretto, e comunque non mi risolve nulla!
Determinare per quali valori del parametro k il polinomio $x^4-k*x^2+2-i$ è divisibile per $x-1$ .
Come si determinano i valori del parametro k?
Potete darmi una mano???
PS: Ho provato a svolgere prima la divisione considerando k come un coefficiente qualsiasi ma non so se è corretto, e comunque non mi risolve nulla!
Risposte
Ciao. Ti è mai capitato di dover scomporre un polinomio con Ruffini, ad esempio per risolvere un'equazione di grado superiore al secondo? Se sì, come fai a vedere se un polinomio si divide senza resto per $(x-a)$ prima di cominciare a fare la divisione?
Per capire se un polinomio si divide senza resto devo dividere $P(x)$ (in questo caso) per $x-1$ e la divisione deve dare resto zero...
Quindi devo fare lo stesso qui?
Quindi devo fare lo stesso qui?
Se un polinomio $P(x)$ contiene $(x-a)$ nella sua scomposizione, è $P(x)=(x-a)(...)$, quindi dev'essere: $P(a)=0$...
Non so se ho capito bene, $P(a)$ sarebbe la parte mancante tale che $P(x)$ = $(x-a)$ $P(a)$ ??
Io ho provato a dare la divisione $(P(x))/(x-a)$ e ho trovato un resto $R$ ≠ 0.
Mi basta mettere quel resto = 0 e trovare così il valore di k perchè $R$ si annulli???
Io ho provato a dare la divisione $(P(x))/(x-a)$ e ho trovato un resto $R$ ≠ 0.
Mi basta mettere quel resto = 0 e trovare così il valore di k perchè $R$ si annulli???
No... quello che ti sto dicendo è che se vuoi capire a priori, cioè senza fare la divisione, se un polinomio__$P(x)$__si divide per__$(x-a)$__basta calcolare__$P(a)$;__se è zero, allora è divisibile (senza resto), se non è zero allora non è divisibile in modo esatto.
Un esempio elementare: $P(x)=x^2-3x+2$__si divide per__$x-1$__perchè__$P(1)=0$,__mentre non si divide per__$x-3$__perchè__$P(3)!=0$.
Mi spiego?
Un esempio elementare: $P(x)=x^2-3x+2$__si divide per__$x-1$__perchè__$P(1)=0$,__mentre non si divide per__$x-3$__perchè__$P(3)!=0$.
Mi spiego?
Ah ok, adesso ho capito cosa intendi! Quindi devo trovare i valori di k per cui $P(a)$$=0$ ???
Grazie mille, ultimissima cosa...se ho $x-a$ o $x+a$ comunque devo sostituire $a$ in $P(a)$ ? Sempre con segno positivo?
No: se devi verificare la divisibilità per $x-a$ devi accertarti che $P(a)=0$, se è per $x+a$ dev'essere $P(-a)=0$.
Perfetto, grazie ancora!!
Prego, ciao
Abuso ancora della tua pazienza per chiederti questa cosa:
Ragionando come prima, se l'esercizio mi chiede "Determinare per quali valori a,b il polinomio $x^3+ax+b$ ammette $1$ come radice di molteplicità due" allora considero:
$(x-1)$ facente parte della scomposizione del polinomio $P(x)$$=$$x^3+ax+b$. Svolgo per $P(a)$$=0$ e trovo l'equazione:
$(1)^3+a+b$$=$$0$ perciò il polinomio ammette $1$ come radice di molteplicità due se $a+b=-1$.
È corretto??
Ragionando come prima, se l'esercizio mi chiede "Determinare per quali valori a,b il polinomio $x^3+ax+b$ ammette $1$ come radice di molteplicità due" allora considero:
$(x-1)$ facente parte della scomposizione del polinomio $P(x)$$=$$x^3+ax+b$. Svolgo per $P(a)$$=0$ e trovo l'equazione:
$(1)^3+a+b$$=$$0$ perciò il polinomio ammette $1$ come radice di molteplicità due se $a+b=-1$.
È corretto??
No. Così imponi che sia una volta soluzione. Per essere di molteplicità due dev'essere soluzione doppia, cioè anche il risultato della divisione del polinomio per $(x-1)$ dev'essere divisibile per $x-1$.
Allora svolgo prima la divisione $(P(x))/(x-1)$ e mi viene come risultato un polinomio $Q(x)$ e un resto $R$.
Ma poi come proseguo? Devo sostituire a questo punto $1$?
Ma poi come proseguo? Devo sostituire a questo punto $1$?
Imponi che il resto sia zero e che il quoziente sia divisibile per $x-1$, cioè che $Q(1)=0$. Metti a sistema e trovi $a$ e $b$.
Grande! Non riuscivo proprio a capire come si risolvessero questi esercizi! comunque adesso esco così non ti disturbo più...grazie ancora!!! 
Prego, ciao!
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