Polinomi
Buonasera sto provando a fare questo esercizio:
Per ogni primo (positivo) p si consideri il polinomio
$ f_p =x +x −35x −36x+34 \inZ_p[x]. $
(i) lo si usi per determinare l’insieme T dei primi p tali che fp sia divisibile (in Zp[x]) per $x_2 − 1$.
(ii) Per ogni $p\in T$ si scriva $f_p$ come prodotto di polinomi monici irriducibili in Zp[x].
Allora per
(i) ho fatto ruffini tra $f_p$ e $x_2+1$ ed ho ottenuto $-15$ da ciò $T={5,7}$
(ii) se ho P=5 da ruffini fatto in precedenza ho ottenuto : $(x^2+x-34)(x^2-1)$ che l'ho scomposto cosi:
$(x^2+x-34)(x-1)(x+1)$
mentre se P=7 ho scomposto $(x^2+x-34)(x^2-1)$ cosi:
$(x+3)(x-2)(x+1)(x-1)$
è giusto?
Grazie in anticipo a tutti
Per ogni primo (positivo) p si consideri il polinomio
$ f_p =x +x −35x −36x+34 \inZ_p[x]. $
(i) lo si usi per determinare l’insieme T dei primi p tali che fp sia divisibile (in Zp[x]) per $x_2 − 1$.
(ii) Per ogni $p\in T$ si scriva $f_p$ come prodotto di polinomi monici irriducibili in Zp[x].
Allora per
(i) ho fatto ruffini tra $f_p$ e $x_2+1$ ed ho ottenuto $-15$ da ciò $T={5,7}$
(ii) se ho P=5 da ruffini fatto in precedenza ho ottenuto : $(x^2+x-34)(x^2-1)$ che l'ho scomposto cosi:
$(x^2+x-34)(x-1)(x+1)$
mentre se P=7 ho scomposto $(x^2+x-34)(x^2-1)$ cosi:
$(x+3)(x-2)(x+1)(x-1)$
è giusto?
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
Correggi la domanda. Se $p(x)=x^4 + x^3 - 35x^2 -36x + 34$ allora in $ZZ[x]$ si ha:
$p(x)=(x^2 + x -34)(x^2 - 1) -35x$
Sfruttando l'isomorfismo $ZZ_p[x] \cong {ZZ[x]}/((p)[x])$ il problema si riduce a trovare i valori di $p$ tali per cui $-35x = 0$ in $ZZ_p[x]$, ovvero $p \in {5, 7}$.
In $ZZ_5[x]$ si ha la fattorizzazione in irriducibili $p(x)=(x^2 + x + 1)(x+1)(x-1)$.
In $ZZ_7[x]$ si ha la fattorizzazione in irriducibili $p(x)=(x-2)(x-4)(x+1)(x-1)$ (entrambe trovate per esaustione dei casi).
Spero di non aver fatto errori nei conti.
$p(x)=(x^2 + x -34)(x^2 - 1) -35x$
Sfruttando l'isomorfismo $ZZ_p[x] \cong {ZZ[x]}/((p)[x])$ il problema si riduce a trovare i valori di $p$ tali per cui $-35x = 0$ in $ZZ_p[x]$, ovvero $p \in {5, 7}$.
In $ZZ_5[x]$ si ha la fattorizzazione in irriducibili $p(x)=(x^2 + x + 1)(x+1)(x-1)$.
In $ZZ_7[x]$ si ha la fattorizzazione in irriducibili $p(x)=(x-2)(x-4)(x+1)(x-1)$ (entrambe trovate per esaustione dei casi).
Spero di non aver fatto errori nei conti.
"Overflow94":
Correggi la domanda. Se $p(x)=x^4 + x^3 - 35x^2 -36x + 34$ allora in $ZZ[x]$ si ha:
$p(x)=(x^2 + x -34)(x^2 - 1) -35x$
Sfruttando l'isomorfismo $ZZ_p[x] \cong {ZZ[x]}/((p)[x])$ il problema si riduce a trovare i valori di $p$ tali per cui $-35x = 0$ in $ZZ_p[x]$, ovvero $p \in {5, 7}$.
In $ZZ_5[x]$ si ha la fattorizzazione in irriducibili $p(x)=(x^2 + x + 1)(x+1)(x-1)$.
In $ZZ_7[x]$ si ha la fattorizzazione in irriducibili $p(x)=(x-2)(x-4)(x+1)(x-1)$ (entrambe trovate per esaustione dei casi).
Spero di non aver fatto errori nei conti.
Io non mi trovo con le fattorizzazioni in $ZZ_5[x]$ e $ZZ_7[x]$....scusa ma per $ZZ_5[x]$ devo fattorizzare $(x^2+x-[34]_5)(x-1)(x+1)$ ma il primo polinomio non è riducibile perché la classe di $[34]_5$ è -4 che è compreso in $ZZ_5[x]$. Poi per $ZZ_7[x]$ invece ho $(x-[2]_7)(x+[3]_7) (x+1)(x-1)$ sbaglio?
$-34=1$ sia in $ZZ_5$ che in $ZZ_7$, quindi la fattorizzazione in $ZZ_5[x]$ ci viene uguale.
Anche in $ZZ_7[x]$ si ha $(x^2+x-34)=(x^2+x+1)=(x-2)(x-4)=(x+5)(x+3)$. Quindi abbiamo scritto la stessa cosa poichè ($-4=3(mod 7)$).
Anche in $ZZ_7[x]$ si ha $(x^2+x-34)=(x^2+x+1)=(x-2)(x-4)=(x+5)(x+3)$. Quindi abbiamo scritto la stessa cosa poichè ($-4=3(mod 7)$).
"Overflow94":
$-34=1$ sia in $ZZ_5$ che in $ZZ_7$, quindi la fattorizzazione in $ZZ_5[x]$ ci viene uguale.
Anche in $ZZ_7[x]$ si ha $(x^2+x-34)=(x^2+x+1)=(x-2)(x-4)=(x+5)(x+3)$. Quindi abbiamo scritto la stessa cosa poichè ($-4=3(mod 7)$).
Sisi quindi avevo fatto bene...scusa se nel primo post non ho messo le classi è quindi non sembrava corretto
Rileggendo il tuo primo post mi sa che sono io che avevo sbagliato a leggere ieri sera, scusa xD
"Overflow94":
Rileggendo il tuo primo post mi sa che sono io che avevo sbagliato a leggere ieri sera, scusa xD
tranquillo...grazie mille
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