Polinomi

[SaraC1234]

Se io ho $h$ appartenente a $Z$ e ho $ F_h$ = $Q[x]$/$(x^3+h*x^2+h*x+2)$
Per poter dimostrare che $F_h$ é un campo devo dimostrare che il polinomio sia irridubule .
A questo punto sarebbe lecito usare il criterio di Einstein per il quale : un polinomio é irredducile se per $p$ primo abbiamo:
$p$ non divide 1 ( in questo caso il coefficiente direttivo é 1)
$p^2$ non divide 2
$p$| $a_i$ ovvero tutti i coefficienti intermedi + $a_0$
Allora posso affermare che il polinomio é irriducibile per $h=2$ prendendo $p=2$.
É irriducibile solo per $h=2$ ?

[Pappappero1]

Per Eisenstein hai gratis che e' irriducibile ogni volta che $h$ e' pari.

Ma lo sara' anche per tanti altri $h$.

Osserviamo due cose:
Un polinomio di grado $3$ e' irriducibile su un campo $\mathbb{F}$ (in questo caso $\mathbb{Q}$) se e solo se non ha radici in $\mathbb{F}$. Perche'? (Hint: La direzione "solo se" e' quasi ovvia. Per la direzione "se", se fosse riducibile, come dovrebbero essere fatti i fattori?)

Per il Lemma di Gauss, un polinomio monico a coefficienti in $\mathbb{Z}$ e' irriducibile su $\mathbb{Q}$ se e solo se e' irriducibile su $\mathbb{Z}$. Quindi, per l'osservazione sopra, se e' riducibile avra' una radice in $\mathbb{Z}$. Ma come devono essere fatte le radici in $\mathbb{Z}$?