Polinomi
ragazzi scusate io ho questo polinomio 2x^4 -2 in Z5 devo scriverlo in prodotto di irriducibili
questo polinomio ammette 1 -1 2 -2 come radice quindi è divisibile per (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) tutti questi polinomi devo moltiplicarli per qualcosa come faccio a vedere quel qualcosa? grazie
questo polinomio ammette 1 -1 2 -2 come radice quindi è divisibile per (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) tutti questi polinomi devo moltiplicarli per qualcosa come faccio a vedere quel qualcosa? grazie
Risposte
Confronti i coefficienti del monomio di massimo (o minimo) grado. Nel tuo caso si ha, in \(\displaystyle \mathbb{F}_5 \):
\(\displaystyle 2x^4-2 = 2(x^4-1)=2(x-1)(x+1)(x^2+1)=2(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\)
poiché \(\displaystyle 1=-4 \).
\(\displaystyle 2x^4-2 = 2(x^4-1)=2(x-1)(x+1)(x^2+1)=2(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\)
poiché \(\displaystyle 1=-4 \).
grazie per la risposta,senti ho capito come hai svolto quello ma ho difficoltà con questo polinomio se non ti chiedo troppo mi aiuteresti anche con questo?
x^4+4x+3 ha come radice (x-4) in questo caso come dovrei comportarmi?
x^4+4x+3 ha come radice (x-4) in questo caso come dovrei comportarmi?
Puoi semplicemente dividere il polinomio $x^4+4x+3$ per il polinomio $x-4$. L'algoritmo di divisione è lo stesso che per i polinomi a coefficienti interi, solo che invece che avere gli interi come coefficienti, abbiamo elementi di $\mathbb{F}_5$.
In questo caso particolare, dato che $x-4=x+1$ e conosciamo la fattorizzazione di $x^4-1$,
\(\displaystyle x^4+4x+3 = (x^4-1)+4(x+1) = (x+1)\cdot\left((x-1)(x^2+1)+4\right) = (x+1)\cdot\left(x^3-x^2+x+3\right). \)
La somma a segni alterni dei coefficienti del polinomio di terzo grado che figura nel membro destro è nulla, per cui tale polinomio ha una radice in $-1$, ossia è divisibile per $(x+1)$:
\(\displaystyle x^3-x^2+x+3 = (x^3+x^2)-2(x^2+x)+3(x+1) = (x+1)\cdot(x^2-2x+3). \)
Ora il polinomio di secondo grado che figura nel termine destro è irriducibile su $\mathbb{F}_5$ in quanto il suo discriminante, $2^2-4\cdot 3 = -8 = -3 = 2$, non è un quadrato in $\mathbb{F}_5$ (dunque tale polinomio non ha radici in $\mathbb{F}_5$). Morale della favola, la fattorizzazione di $x^4+4x+3$ in $\mathbb{F}_5$ è:
\(\displaystyle x^4+4x+3 = (x+1)^2 \cdot (x^2+3x+3). \)
In questo caso particolare, dato che $x-4=x+1$ e conosciamo la fattorizzazione di $x^4-1$,
\(\displaystyle x^4+4x+3 = (x^4-1)+4(x+1) = (x+1)\cdot\left((x-1)(x^2+1)+4\right) = (x+1)\cdot\left(x^3-x^2+x+3\right). \)
La somma a segni alterni dei coefficienti del polinomio di terzo grado che figura nel membro destro è nulla, per cui tale polinomio ha una radice in $-1$, ossia è divisibile per $(x+1)$:
\(\displaystyle x^3-x^2+x+3 = (x^3+x^2)-2(x^2+x)+3(x+1) = (x+1)\cdot(x^2-2x+3). \)
Ora il polinomio di secondo grado che figura nel termine destro è irriducibile su $\mathbb{F}_5$ in quanto il suo discriminante, $2^2-4\cdot 3 = -8 = -3 = 2$, non è un quadrato in $\mathbb{F}_5$ (dunque tale polinomio non ha radici in $\mathbb{F}_5$). Morale della favola, la fattorizzazione di $x^4+4x+3$ in $\mathbb{F}_5$ è:
\(\displaystyle x^4+4x+3 = (x+1)^2 \cdot (x^2+3x+3). \)
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