Polimonio irriducibile in Q

[pietro.maroso]

Buongiorno a tutti.
Provare che il polinomio è irriducibile in $QQ$.
$$p(x)=x^3 -x +1$$
Nei miei appunti il professore suggerisce di sostituire alla $x$ il numero $\frac{u}{v}$ con $u,v \in ZZ$.
Qualche idea circa lo svolgimento?

[Gi81]

Supponiamo per assurdo che $p(x)= x^3-x+1$ sia riducibile in $QQ$.
Allora, poichè $p(x)$ ha grado tre, necessariamente esiste $alpha in QQ$ tale che $p(alpha)=0$.

$alpha= u/v$ con $u in ZZ$, $v in NN\\{0}$ e $u$,$v$ coprimi.
Si ha pertanto $(u/v)^3-(u/v) +1=0$. Moltiplichiamo tutto per $v^3$.
Si ha $u^3 -v^2 u +v^3=0 => u(u^2-v^2)= -v^3$ ...

[pietro.maroso]

Grazie. Ero arrivato allo stesso punto ma non mi è chiaro il passaggio da fare dopo: come concludo dicendo che non appartiene all'insieme dei razionali?

[Gi81]

Distinguo due casi:
1) $u^2-v^2!=0$
l'ultima equazione implica che $u$ divide $v^3$, cosa che è possibile solo se $u=1 vv u= -1$
Se $u=1$ si ha $1-v^2= -v^3 => v^3-v^2+1=0$ che non ha soluzioni in $NN$
Se $u= -1$ si ha $-(1-v^2)= -v^3 => v^3+v^2-1=0$ che non ha soluzioni in $NN$.

2) $u^2-v^2=0$
A te

[pietro.maroso]

Grazie ancora, chiarissimo.

[Gi81]

Mi puoi illustrare il caso 2)?

[pietro.maroso]

Scusa, non avevo più controllato.
Se $u^2 =v^2$ allora $u=v$ oppure $u=-v$.
Nel primo caso, andando a sostituire nell'equazione
$$ \left(\dfrac{u}{v} \right)^3 - \dfrac{u}{v} +1 =0$$
otterrei $1-1+1=0$: assurdo.
Nel secondo caso, sostituendo nella stessa equazione, otterrei $-1+1+1=0$: assurdo.