Perplessità su Permutazioni

[Ascoth]

Cercando esercizi vari su questo argomento mi sono imbattuto in questo e vorrei una mano nel capire (o anche se dico fesserie in qualche punto):

Siano dati i seguenti elementi di $S_16$:

$\sigma$ = (1,7,13,9,2)(3,8,4)(5,11,12,6,10,15,14,16)
$\tau$ = (14,10,12,5)(8, 4,3)(15,6,11,16).

(a) Determinare <$\sigma$> $nn$ <$\tau$>.
(b) Determinare, se possibile, un sottogruppo di $S_16$ avente ordine 24 e
contenente <$\sigma$> $nn$ <$\tau$>

Ora se ben ho capito per (a) si tratta soltanto di selezionare i cicli comuni ai 2 insiemi quindi (8, 4,3)(15,6,11,16)
Quanto a (b) credo di poter usare la formula apposita $n/(MCD(n,k))$.
Con n = 16 e k = 0...15
Li dove il risultato mi darà 24 avrò il sottogruppo di $S_16$ di ordine 24 come richiesto?

[j18eos]

Benvenut*;

due fesserie le hai scritte: la prima è che ti sei riferito a quelle permutazioni come insiemi, la seconda è che hanno un solo ciclo in comune!

Per il punto (a) inizierei a capire quali sono i loro periodi.

[sara912]

Ciao, stavo svolgendo anch'io quest'esercizio e anch'io ho trovato quache difficoltà... Ho calcolato i periodi delle due permutazioni, ottenendo che $ sigma $ ha periodo 120, mentre $ tau $ ha periodo 12. Questo quindi vuol dire che $ $ ha 120 elementi, mentre $ $ ne ha 12. Per determinare $ <> nn <> $ ho notato che $ tau $ lascia fissi $ { 1,2,7,9,13 } $ e questo in $ $ avviene con $ sigma^5 $. Con questo ragionamento arrivo a dire che $ <> nn <> $ = $ nn $ . Ora però noto anche che $ tau $ manda l'insieme $ { 14,10,2,5 } $ in sè, quindi cerco le potenze di $ sigma^5 $ con la stessa proprietà, e osservo che questo avviene con $ sigma^10 $. Quindi $ <> nn <> $ = $ nn $ . Con luuunghi ( ) calcoli trovo che $ tau in $ e quindi $ $ è sottogruppo di $ $ ma poichè i due hanno la stessa cardinalità il risutato finale è che $ nn = nn = $ !
Credo sia corretto così, ora per il punto b serve una mano anche a me

[francicko]

x@sara91. Potrei benissimo avermi sbagliato, in quanto conosco ancora poco l'argomento permutazioni, ma a me l'intersezione risulta un pò diversa!
Sappiamo che il periodo(ordine) di una permutazione (espressa in cicli disgiunti) é il $m.c.m$ delle lunghezze dei suoi cicli.
Pertanto si deduce che $sigma^120=I$ cioè $$ ha $120$ elementi distinti;
Inoltre $tau^12=I$ cioè $$ ha $12$ elementi distinti.
Sin qua ok!
Ho cancellato il resto in quanto era errato, credo che la soluzione $nn$$=$ sia giusta!