Permutazioni, queste sconosciute
Anche i gruppi simmetrici e le permutazioni non mi risparmiano grossi mal di testa 
Infatti non riesco a capire cosa si intenda per trasposizioni involuntorie.
La mia dispensa le definisce così: $(i,j)^2=1$, ovvero $(i,j)^-1=(i,j)$
Potreste spiegarmi di cosa si tratta esattamente? Grazie
Infatti non riesco a capire cosa si intenda per trasposizioni involuntorie.
La mia dispensa le definisce così: $(i,j)^2=1$, ovvero $(i,j)^-1=(i,j)$
Potreste spiegarmi di cosa si tratta esattamente? Grazie
Risposte
E' più comune chiamarle involuzioni e basta. Sono permutazioni tali che il solo inverso è la permutazione stessa. Non sono necessariamente trasposizioni ma sono prodotti di trasposizioni disgiunte (se viste nei gruppi simmetrici). Mentre con trasposizione si intende lo scambio di due elementi.
In generale ora e' piu' chiaro, pero' ancora non capisco cosa voglia dire $(i,j)^2=1$ ... Potresti farmi un esempio concreto? Grazie e scusa la banalita'
"GundamRX91":
In generale ora e' piu' chiaro, pero' ancora non capisco cosa voglia dire $(i,j)^2=1$ ... Potresti farmi un esempio concreto? Grazie e scusa la banalita'
Trovo la scrittura piuttosto brutta. La scrittura $(i,j)$ indica generalmente un ciclo di ordine 2 detto anche scampo o trasposizione. E' abbastanza ovvio da come sono costituite che vale quella relazione. Avrebbe più senso dire che una involuzione è una permutazione tale che $\sigma^2 = 1$. Ma forse io e le dispense usiamo termini un pochino diversi e mi sfugge lo scopo di questa definizione.
Esattamente cosa c'è scritto nella dispense?
Il testo e' il seguente:
"Merita attenzione anche una diversa decomposizione delle permutazioni,
quella i cui fattori sono trasposizioni. Con questo termine vendono denotati
i cicli di lunghezza 2, cioe' della forma $(i, j)$. Si noti che le trasposizioni sono
involutorie, cioe' che $(i, j)^2 = 1$, ovvero $(i, j)^-1 = (i, j)$"
"Merita attenzione anche una diversa decomposizione delle permutazioni,
quella i cui fattori sono trasposizioni. Con questo termine vendono denotati
i cicli di lunghezza 2, cioe' della forma $(i, j)$. Si noti che le trasposizioni sono
involutorie, cioe' che $(i, j)^2 = 1$, ovvero $(i, j)^-1 = (i, j)$"
"GundamRX91":
Il testo e' il seguente:
"Merita attenzione anche una diversa decomposizione delle permutazioni,
quella i cui fattori sono trasposizioni. Con questo termine vendono denotati
i cicli di lunghezza 2, cioe' della forma $(i, j)$. Si noti che le trasposizioni sono
involutorie, cioe' che $(i, j)^2 = 1$, ovvero $(i, j)^-1 = (i, j)$"
Ok, ora si che ha un senso... Le permutazioni involutorie sono un insieme più grande delle trasposizioni e le contengono. Quello che sta dicendo è semplicemente che le trasposizioni sono inverse di loro stesse. La scrittura $(i,j)$ è la scrittura della trasposizione in cicli (di lunghezza 2) e l'elevamento al quadrato ha il senso solito.
In pratica:
Involuzioni: permutazioni che hanno loro stesse come inverse o in maniera equivalente che il loro ordine è 2. L'equivalenza deriva dall'unicità dell'inverso.
Trasposizioni: permutazioni che scambiano tra di loro due elementi (i e j nell'esempio) e che lasciano fisso tutto il resto dell'insieme.
Ogni permutazioni si può scrivere come prodotto di trasposizioni anche se questa scomposizione non è unica. Per esempio il ciclo (i,j,k) si può scrivere come (i,k)(i,j).
"vict85":
[quote="GundamRX91"]Il testo e' il seguente:
"Merita attenzione anche una diversa decomposizione delle permutazioni,
quella i cui fattori sono trasposizioni. Con questo termine vendono denotati
i cicli di lunghezza 2, cioe' della forma $(i, j)$. Si noti che le trasposizioni sono
involutorie, cioe' che $(i, j)^2 = 1$, ovvero $(i, j)^-1 = (i, j)$"
Ok, ora si che ha un senso... Le permutazioni involutorie sono un insieme più grande delle trasposizioni e le contengono. Quello che sta dicendo è semplicemente che le trasposizioni sono inverse di loro stesse. La scrittura $(i,j)$ è la scrittura della trasposizione in cicli (di lunghezza 2) e l'elevamento al quadrato ha il senso solito.
[/quote]
e' proprio questa la cosa piu' oscura: elevare al quadrato una trasposizione, o un ciclo (se ha senso), come si risolve? Non l'ho proprio capito....
"vict85":
In pratica:
Involuzioni: permutazioni che hanno loro stesse come inverse o in maniera equivalente che il loro ordine è 2. L'equivalenza deriva dall'unicità dell'inverso.
Trasposizioni: permutazioni che scambiano tra di loro due elementi (i e j nell'esempio) e che lasciano fisso tutto il resto dell'insieme.
Ogni permutazioni si può scrivere come prodotto di trasposizioni anche se questa scomposizione non è unica. Per esempio il ciclo (i,j,k) si può scrivere come (i,k)(i,j).
Grazie
Se hai un gruppo $(G,*)$, l'elevamento a un esponente intero $m$ per un qualunque elemento $g$ del gruppo, indica $g*g*...*g$ per $m$ volte. (Se l'esponente è negativo, indica $g^(-1)*...*g^(-1)$).
In pratica ripeti l'operazione del gruppo sull'elemento stesso per quante volte indica l'esponente.
Attento che quando il gruppo è in notazione additiva $(G,+)$, si usa $m*g$ al posto di $g^m$.
Nel tuo caso, l'operazione è la composizione di permutazioni. Quindi, l'elevamento al quadrato vuol dire che componi la trasposizione in questione con se stessa. Ma poiché hai detto che è un'involuzione, hai: $\sigma^2=\sigma*\sigma=\sigma*\sigma^(-1)=1$, dove $1$ indica l'identità ovviamente.
In pratica ripeti l'operazione del gruppo sull'elemento stesso per quante volte indica l'esponente.
Attento che quando il gruppo è in notazione additiva $(G,+)$, si usa $m*g$ al posto di $g^m$.
Nel tuo caso, l'operazione è la composizione di permutazioni. Quindi, l'elevamento al quadrato vuol dire che componi la trasposizione in questione con se stessa. Ma poiché hai detto che è un'involuzione, hai: $\sigma^2=\sigma*\sigma=\sigma*\sigma^(-1)=1$, dove $1$ indica l'identità ovviamente.
Adesso e' chiaro ed chiaro quanto indicato nella dispensa, alla luce di queste spiegazioni
Grazie mille!!!
Grazie mille!!!
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