Permutazioni, gruppi ciclici..
Sia \$\alpha\$ = \$((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19),(7, 4, 12, 13, 19, 17, 18, 10, 11, 2, 6, 3, 5, 9, 8, 15, 14, 1, 16))\$ \$in\$ \$S_19\$, e sia G = <\$\alpha\$>.
(a) Determinare un sottogruppo di G avente ordine 15.
(b) Posto H = {\$\sigma\$ \$in\$ G | \$\sigma\$(1)=1, \$\sigma\$(2)=2}, provare che H è un gruppo ciclico e
determinarne l'ordine ed un generatore.
Allora, scrivo la permutazione in cicli disgiunti:
\$\alpha\$ = (1 7 18) (2 4 13 5 19 16 15 8 10) (3 12) (6 17 14 9 11). Di questa calcolo il periodo, che è o(\$\alpha\$) = mcm (3, 9, 2, 5) = 90. Dunque G è un gruppo ciclico di ordine 90, il cui unico sottogruppo di ordine 15 è quello generato da \$\$\alpha\$^{90/15}\$ = \$\alpha^6\$ = (2 15 5) (4 8 19) (13 10 16) (6 17 14 9 11). E' giusta questa prima parte??
E invece la parte b) come la svolgo? Grazie..\alpha
(a) Determinare un sottogruppo di G avente ordine 15.
(b) Posto H = {\$\sigma\$ \$in\$ G | \$\sigma\$(1)=1, \$\sigma\$(2)=2}, provare che H è un gruppo ciclico e
determinarne l'ordine ed un generatore.
Allora, scrivo la permutazione in cicli disgiunti:
\$\alpha\$ = (1 7 18) (2 4 13 5 19 16 15 8 10) (3 12) (6 17 14 9 11). Di questa calcolo il periodo, che è o(\$\alpha\$) = mcm (3, 9, 2, 5) = 90. Dunque G è un gruppo ciclico di ordine 90, il cui unico sottogruppo di ordine 15 è quello generato da \$\$\alpha\$^{90/15}\$ = \$\alpha^6\$ = (2 15 5) (4 8 19) (13 10 16) (6 17 14 9 11). E' giusta questa prima parte??
E invece la parte b) come la svolgo? Grazie..\alpha
Risposte
Ciao e benvenuto/a.
Potresti correggere ciò che hai scritto?
Devi omettere : \ .
Così si capisce veramente poco.
Potresti correggere ciò che hai scritto?
Devi omettere : \ .
Così si capisce veramente poco.
"fraaaaa":
Sia \[ \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 \\ 7 & 4 & 12 & 13 & 19 & 17 & 18 & 10 & 11 & 2 & 6 & 3 & 5 & 9 & 8 & 15 & 14 & 1 & 16\end{pmatrix} \in S_{19}\]
e sia \(G = \langle\alpha\rangle\).
(a) Determinare un sottogruppo di \(G\) avente ordine \(15\).
(b) Posto \(H = \{\sigma \in G \mid \sigma(1)=1, \sigma(2)=2\}\), provare che \(H\) è un gruppo ciclico e
determinarne l'ordine ed un generatore.
------------------------------------------------------
Allora, scrivo la permutazione in cicli disgiunti:
\[\alpha = (1\,7\,18) (2\,4\,13\,5\,19\,16\,15\,8\,10) (3\,12) (6\,17\,14\,9\,11).\]
Di questa calcolo il periodo, che è \(o(\alpha) = \mathrm{mcm}(3,\,9,\,2,\,5) = 90\). Dunque \(G\) è un gruppo ciclico di ordine \(90\), il cui unico sottogruppo di ordine \(15\) è quello generato da
\[\displaystyle\alpha^{\frac{90}{15}} = \alpha^6 = (2\ 15\ 5) (4\ 8\ 19) (13\ 10\ 16) (6\ 17\ 14\ 9\ 11).\]
È giusta questa prima parte??
E invece la parte b) come la svolgo? Grazie..\(\alpha\)
Ok, mi sono permesso di fare un po’ di editing del tuo messaggio. Per iniziare grazie per aver provato ad usare le formule ma hai sbagliato alcune cose:
[list=1][*:meb8bbzl]Il comando per la matematica è il simbolo di dollaro e non \$, stai attento.[/*:m:meb8bbzl]
[*:meb8bbzl] Racchiudi nella matematica tutto e non solo i simboli che non sai rappresentare. Per esempio scrivi $alpha = (1\ 2\ 3)$ e non $alpha$ = $(1\ 2\ 3)$, risulta più chiaro.[/*:m:meb8bbzl]
[*:meb8bbzl] Se tu, all’interno della matematica, metti uno spazio questo viene ignorato. Quindi scrivi:
$(12\ 13\ 14)$$(12\ 13\ 14)$ oppure
$(12, 13, 14)$$(12, 13, 14)$, invece di
$(12 13 14)$$(12 13 14)$.[/*:m:meb8bbzl]
[*:meb8bbzl] Per frazioni, pedici e apici usa le parentesi tonde per racchiudere le cose: sei più sicuro che ti racchiudano le cose.[/*:m:meb8bbzl]
[*:meb8bbzl] Se conosci latex puoi usare quello. Le mie correzioni sono in Latex.[/*:m:meb8bbzl][/list:o:meb8bbzl]
Ho guardato la prima parte e direi che è corretta.
Riguardo la seconda cosa farei notare che tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici.
Dimostriamo che è un sottogruppo (al di là del fatto che lo è perché è l'intersezione di due sottogruppi o anche per la teoria delle azioni). Siano \(\gamma, \sigma\in G\) allora \((\sigma\beta^{-1})(1) = \sigma\bigl(\beta^{-1}(1)\bigr) = \sigma(1) = 1\). Questo aspetto è quindi concluso.
A questo punto notiamo che
\(\alpha^n(1) = 1\) se e solo se \((1\ 7\ 18)^n = (1)(7)(18)\), cioè se \(3\vert n\).
\(\alpha^n(2) = 2\) se e solo se \(9\vert n\). Basta usare lo stesso metodo di prima.
A questo punto \(\alpha^9\) genera \(H\)
Riguardo la seconda cosa farei notare che tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici.
Dimostriamo che è un sottogruppo (al di là del fatto che lo è perché è l'intersezione di due sottogruppi o anche per la teoria delle azioni). Siano \(\gamma, \sigma\in G\) allora \((\sigma\beta^{-1})(1) = \sigma\bigl(\beta^{-1}(1)\bigr) = \sigma(1) = 1\). Questo aspetto è quindi concluso.
A questo punto notiamo che
\(\alpha^n(1) = 1\) se e solo se \((1\ 7\ 18)^n = (1)(7)(18)\), cioè se \(3\vert n\).
\(\alpha^n(2) = 2\) se e solo se \(9\vert n\). Basta usare lo stesso metodo di prima.
A questo punto \(\alpha^9\) genera \(H\)
Grazie e scusatemi per l'inconveniente. Ho ancora un dubbio, ma quindi qual è l'ordine di H?
vict ha appena dimostrato che $H$ è un gruppo ciclico ed ha come generatore $\alpha^9$ , cosa ne deduci?
Che l'ordine è 10?
Perché 10?
Mamma quanti baresi fa impazzire Nardozza 
O.o Esatto. Comunque 10 è il periodo, e non l'ordine. Sgrunt. Ok, ho qualche problema con l'ordine di una permutazione.
"fraaaaa":
O.o Esatto. Comunque 10 è il periodo, e non l'ordine. Sgrunt. Ok, ho qualche problema con l'ordine di una permutazione.
Nono scusami, hai ragione.
$\alpha^9$ ha periodo $10$ , e dunque l'ordine del sottogruppo da esso generato è 10. Quindi $|H|=10$.
Ok, grazie mille 
Ti propongo questo esercizio :
Sia $G= <\alpha>$. Dove $\alpha $ è la permutazione dell'esercizio precedente.
Siano $H={g \in G | o(g) | 10} $ , $K={g \in G | o(g) | k , k \in ZZ \: M.C.D(90,k)=1 } $ , $J={ g \in G | \sigma(1)=18}$.
Quali tra $H,J,K$ sono sottogruppi ciclici di $G$?
$H uu K$ è un sottogruppo di $G$?
Sia $G= <\alpha>$. Dove $\alpha $ è la permutazione dell'esercizio precedente.
Siano $H={g \in G | o(g) | 10} $ , $K={g \in G | o(g) | k , k \in ZZ \: M.C.D(90,k)=1 } $ , $J={ g \in G | \sigma(1)=18}$.
Quali tra $H,J,K$ sono sottogruppi ciclici di $G$?
$H uu K$ è un sottogruppo di $G$?
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