Permutazioni e gruppi ciclici
Buongiorno a tutti ragazzi. Ho dubbio relativamente ad un quesito riguardante le permutazioni di un gruppo simmetrico $S_n$
Si considerino le seguenti due permutazioni:
$ delta = (1 2 3 4 5) (6) (7) (8) $
$ tau = (1) (2) (3) (4) (5) (6 7 8) $
Vado a calcolare in primis:
$ delta circ tau = (1 2 3 4 5) (6 7 8)$
Si chiede di dire se nel sottogruppo ciclico $< delta circ tau>$ ci sono elementi di ordine 4.
Ho dei dubbi relativamente a questo quesito.
1) Una composizione di permutazioni, produce sempre un gruppo ciclico?
2) Che cosa si intende nella domanda di sopra con elementi? Quali sono gli elementi di questo nuovo gruppo ciclico?
Grazie a chi riuscirà a chiarire i miei dubbi. Nel frattempo vi porgo i miei saluti. Grazie per la disponibilità.
Si considerino le seguenti due permutazioni:
$ delta = (1 2 3 4 5) (6) (7) (8) $
$ tau = (1) (2) (3) (4) (5) (6 7 8) $
Vado a calcolare in primis:
$ delta circ tau = (1 2 3 4 5) (6 7 8)$
Si chiede di dire se nel sottogruppo ciclico $< delta circ tau>$ ci sono elementi di ordine 4.
Ho dei dubbi relativamente a questo quesito.
1) Una composizione di permutazioni, produce sempre un gruppo ciclico?
2) Che cosa si intende nella domanda di sopra con elementi? Quali sono gli elementi di questo nuovo gruppo ciclico?
Grazie a chi riuscirà a chiarire i miei dubbi. Nel frattempo vi porgo i miei saluti. Grazie per la disponibilità.
Risposte
1) Qualsiasi elemento di un gruppo qualsiasi "produce un gruppo ciclico", si tratta del gruppo generato da quell'elemento, quindi sì.
2) Sono gli elementi del tipo \((\delta \circ \tau)^n\) con \(n \in \mathbb{Z}\).
Un paio di risultati che potrebbero esserti utili:
2) Sono gli elementi del tipo \((\delta \circ \tau)^n\) con \(n \in \mathbb{Z}\).
Un paio di risultati che potrebbero esserti utili:
[*:cjvs1g34] Il periodo della composizione di due cicli disgiunti è il minimo comune multiplo dei periodi dei due cicli.
[/*:m:cjvs1g34]
[*:cjvs1g34] Il periodo di un elemento è uguale all'ordine del gruppo ciclico generato dallo stesso.
[/*:m:cjvs1g34]
[*:cjvs1g34] Un gruppo ciclico di ordine \(n\) ha uno e un solo sottogruppo di ordine \(k \mid n\). Non ci sono altri sottogruppi perché l'ordine di un sottogruppo deve dividere l'ordine del gruppo.[/*:m:cjvs1g34][/list:u:cjvs1g34]
1) La terminologia è impropria. Se tu componi due permutazioni ricavi una nuova permutazione, e il sottogruppo generato da una singola permutazione è per definizione un gruppo ciclico.
2) Gli elementi di un gruppo ciclico sono i multipli del generatore.
2) Gli elementi di un gruppo ciclico sono i multipli del generatore.
Grazie ragazzi per le vostre risposte.
Potete spiegarmi, allora, per quale motivo non ci sono elementi di ordine 4?
Potete spiegarmi, allora, per quale motivo non ci sono elementi di ordine 4?
Il \(\mathbb{Z}_{15}\) ci sono elementi di ordine \(4\)?
Nel tuo caso specifico hai un sottogruppo ciclico il cui generatore $delta*tau$ ha ordine il $m.c.m$ degli ordini dei due elementi appunto $delta$ e $tau$, che nel caso specifico sono due elementi di ordine $5$ e $3$, che risultano essere gli unici divisori dell'ordine, pertanto $4$ non è un divisore dell'ordine ed per Lagrange il sottogruppo ottenuto non può avere elementi di ordine $4$,cioè sottogruppi ciclici di ordine $4$.
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