Permutazioni e cicli
Salve ragazzi
In merito a questo ciclo $(1245)(5647)(368)$ devo calcolarlo in cicli disgiunti.
A me viene $(1271)(346583)$
Grazie in anticipo
Emanuele
In merito a questo ciclo $(1245)(5647)(368)$ devo calcolarlo in cicli disgiunti.
A me viene $(1271)(346583)$
Grazie in anticipo
Emanuele
Risposte
"claudiamatica":
Attento.
$K$ è generato da quella permutazione di ordine 4, quindi è anche lui un gruppo ciclico di 4 elementi, che ha intersezione nulla con $H_3 = <(368)>$.
Poi attento a dire che sono "elementi di $S_8$" forse intendi dire che sono sottogruppi di $S_8$.
Comunque si le intersezioni che ci sono lì direi che danno tutte il gruppo banale.
Per quanto riguarda la domanda su $H_1 H_2$.. (che penso ti sia stato definito come l'insieme dei possibili prodotti fra elementi di H_1 a sinistra ed elementi di H_2 a destra) fai un po' di conti e vedi che ti esce fuori..
ok, praticamente avevo considerato la notazione iniziale che non tiene conto dei cici disgiunti. Se considero correttamente la permutazione sulla base di cicli disgiunti ha ordie $4$ e pertanto intersezione banale con $H_3$
Moltiplicando $H_1*H_2$ e $H_1*H_3$ ottengo i seguenti elementi:
$(1247)(56)$ e $(1245)(368)$ (l'ultimo è uguale), e ambedue secondo me appartengono a $S_8$
In realtà mi si chiede se $H_1*H_2$ e $H_1*H_3$ sono sottogruppi di $S_8$, io penso di si, essendo ciclici sia $H_1$ che $H_2$ e $H_3$, sono anche sottogruppi abeliani e quindi normali di $S_8$ e quindi il prodotto tra di loro da origine cmq ad un sottogruppo di $S_8$.
$(1247)(56)$ e $(1245)(368)$ (l'ultimo è uguale), e ambedue secondo me appartengono a $S_8$
In realtà mi si chiede se $H_1*H_2$ e $H_1*H_3$ sono sottogruppi di $S_8$, io penso di si, essendo ciclici sia $H_1$ che $H_2$ e $H_3$, sono anche sottogruppi abeliani e quindi normali di $S_8$ e quindi il prodotto tra di loro da origine cmq ad un sottogruppo di $S_8$.
Allora.
quegli $H$ sono tutti sottogruppi di $S_8$, è normale che se fai i prodotti tra gli elementi ottieni elementi di $S_8$
La domanda è: L'insieme $H_1 H_2$ è un sottogruppo di S_8?
$H_1 H_2 = {xy | x in H_1, y in H_2}$. Elenca gli elementi di H_1 H_2 (che sono 16, visto che $H_1$ e $H_2$ hanno intersezione banale) e poi vedi se è sottogruppo.
Scusa ho letto solo dopo la 2a parte del tuo post, non so perchè.
Il fatto che $H_1$ sia abeliano non vuol dire affatto che sia normale. Nessuno di quei due è normale in $S_8$, perchè se così fosse dovrebbe contenere tutti i coniugati dei suoi elementi (ovvero tutti i 4-cicli e tutti 2-2-cicli) e chiaramente non è così, visto che ci sono solo 4 elementi in ciascuno dei due.
quegli $H$ sono tutti sottogruppi di $S_8$, è normale che se fai i prodotti tra gli elementi ottieni elementi di $S_8$
La domanda è: L'insieme $H_1 H_2$ è un sottogruppo di S_8?
$H_1 H_2 = {xy | x in H_1, y in H_2}$. Elenca gli elementi di H_1 H_2 (che sono 16, visto che $H_1$ e $H_2$ hanno intersezione banale) e poi vedi se è sottogruppo.
Scusa ho letto solo dopo la 2a parte del tuo post, non so perchè.
Il fatto che $H_1$ sia abeliano non vuol dire affatto che sia normale. Nessuno di quei due è normale in $S_8$, perchè se così fosse dovrebbe contenere tutti i coniugati dei suoi elementi (ovvero tutti i 4-cicli e tutti 2-2-cicli) e chiaramente non è così, visto che ci sono solo 4 elementi in ciascuno dei due.
Facendo i calcoli ho trovato che gli elementi di
$H_1$ sono :$(14)(25)$; $(1542)$;$(id)$;$(1245)$
$H_2$ sono :$(45)(67)$; $(4657)$; $(id)$; $(5647)$
$H_3$ sono :$(368)$; $(386)$; $(id)$.
Quindi deduco che poichè ogni elemento di $H_1*H_2$ e$H_1*H_3$ ha periodo che è un divisore dell'ordine del gruppo $S_8$ allora $H_1*H_2$ e $H_1*H_3$ sono sottogruppi di $S_8$
Dico correttamente?
$H_1$ sono :$(14)(25)$; $(1542)$;$(id)$;$(1245)$
$H_2$ sono :$(45)(67)$; $(4657)$; $(id)$; $(5647)$
$H_3$ sono :$(368)$; $(386)$; $(id)$.
Quindi deduco che poichè ogni elemento di $H_1*H_2$ e$H_1*H_3$ ha periodo che è un divisore dell'ordine del gruppo $S_8$ allora $H_1*H_2$ e $H_1*H_3$ sono sottogruppi di $S_8$
Dico correttamente?
Di nuovo: $H_1$, $H_2$ $H_3$ sono sottogruppi di $S_8$, è normale che i loro elementi abbiano ordine che divide l'ordine di $S_8$.
Ti viene chiesto di dire se $H_1 H_2$ è un sottogruppo di $S_8$.
Hai elencato gli elementi di $H_1$ e di $H_2$ (per esempio) ma non hai elencato gli elementi del prodotto $H_1 H_2$.
Elenca quelli.. e applica la definizione di sottogruppo. Qual è la definizione di sottogruppo?
Ti viene chiesto di dire se $H_1 H_2$ è un sottogruppo di $S_8$.
Hai elencato gli elementi di $H_1$ e di $H_2$ (per esempio) ma non hai elencato gli elementi del prodotto $H_1 H_2$.
Elenca quelli.. e applica la definizione di sottogruppo. Qual è la definizione di sottogruppo?
"claudiamatica":
Di nuovo: $H_1$, $H_2$ $H_3$ sono sottogruppi di $S_8$, è normale che i loro elementi abbiano ordine che divide l'ordine di $S_8$.
Ti viene chiesto di dire se $H_1 H_2$ è un sottogruppo di $S_8$.
Hai elencato gli elementi di $H_1$ e di $H_2$ (per esempio) ma non hai elencato gli elementi del prodotto $H_1 H_2$.
Elenca quelli.. e applica la definizione di sottogruppo. Qual è la definizione di sottogruppo?
Ciao Claudia allora di $H_1*H_3$ ho trovato tutti i suoi $12$ elementi ed il loro prodotto da come risultato un elemento del sottoinsieme quindi $H_1*H_3$ è un gruppo.
Per $H_1*H_2$ sappiamo che sono $16$, ma dalla notazion ciclica noto che hanno in comune $4,5$ quindi per procedere correttamente dovrei trovare gli elementi di $H_1*H_2$ intesi come cicli disgiunti e poi vedere se l'operazione prodotto è chiusa in quell'insieme?
Esiste un metodo veloce per fare tutti quei calcoli, posso desumere che $H_1*H_3$ è o non è un gruppo senza calcolarmi i cicli disgiunti?
Grazie
In che senso hanno in comune $(4,5)$? La trasposizione $(4,5)$ non appartiene a nessuno di quei gruppi.
In ogni caso
l'idea è che se prendi il prodotto $HG$ di due sottogruppi di cui nessuno dei due è normale in generale quello che ottieni non è un gruppo.
Se invece uno dei due sottogruppi fosse normale allora il prodotto è sicuramente un gruppo a sua volta.
Di primo acchitto quello che devi provare a fare è dim. che $H_1 H_2$ non è un sottogruppo, cercando due elementi che moltiplicati tra loro diano un elemento che non sta in $H_1 H_2$.
Suggerimento: sfrutta il fatto che $H_1$ non è normale
In ogni caso
l'idea è che se prendi il prodotto $HG$ di due sottogruppi di cui nessuno dei due è normale in generale quello che ottieni non è un gruppo.
Se invece uno dei due sottogruppi fosse normale allora il prodotto è sicuramente un gruppo a sua volta.
Di primo acchitto quello che devi provare a fare è dim. che $H_1 H_2$ non è un sottogruppo, cercando due elementi che moltiplicati tra loro diano un elemento che non sta in $H_1 H_2$.
Suggerimento: sfrutta il fatto che $H_1$ non è normale
"claudiamatica":
In che senso hanno in comune $(4,5)$? La trasposizione $(4,5)$ non appartiene a nessuno di quei gruppi.
In ogni caso
l'idea è che se prendi il prodotto $HG$ di due sottogruppi di cui nessuno dei due è normale in generale quello che ottieni non è un gruppo.
Se invece uno dei due sottogruppi fosse normale allora il prodotto è sicuramente un gruppo a sua volta.
Di primo acchitto quello che devi provare a fare è dim. che $H_1 H_2$ non è un sottogruppo, cercando due elementi che moltiplicati tra loro diano un elemento che non sta in $H_1 H_2$.
Suggerimento: sfrutta il fatto che $H_1$ non è normale
Stavo cercando proprio quello, è che mi volevo evitare tutti i calcoli.
Posto domani i risultati
coniuga il 2-2 ciclo 
"claudiamatica":
coniuga il 2-2 ciclo
Ciao Claudia, non vorrei sembrare tonto, ma ho ancora perplessità su $H_1*H_2$
di questo gruppo ho trovato che i suoi elementi sono:
$(1245)(5647);(14)(25)(5647);(1542)(5647);(1245)(45)(67);(14)(25)(45)(67);(1542)(45)(67);$
$(1245)(5647);(14)(25)(5647);(1542)(5647);(14)(25);(1542);(1245);5647);(45)(67); (id)$
Ora come si può vedere non sono disposti in cicli disgiunti, quindi la mia perplessità è la seguente al fine di veificare che $H_1*H_2$ è o non è un gruppo, devo verificare che il prodotto degli elementi di questo insieme dia come risultato un elemento dell'insieme stesso. Tuttavia, credo, che per verificarlo devo prima trasformare ciascun elemento in prodotto di cicli disgiunti e poi vedere se i prodotti degli elementi così trovati sono dentro $H_1*H_2$.
Per esempio coniugando il 2-2 ciclo cioè $(14)(25)(45)(67)$ ottengo in cicli disgiunti $(1425)(67)$ a questo punto dovrei vedere se tale elemento è contenuto in $H_1*H_2$ sembrerebbe di no e quindi $H_1*H_12$ non sarebbe un gruppo, ma in realtà dovrei vedere all'interno degli elementi esplicitati in cicli disgiunti, perchè non posso sapere se gli elementi sopra postati possono avere quella forma.
Spero di averti trasmesso quale è la mia perplessità o ciò che ancora non mi è chiaro.
Emanuele
Il consiglio di coniugare il 2-2 ciclo è da intendere in questo modo:
$H_1$ contiene il 2-2 ciclo $(14)(25)$, e $H_2$ contiene $(4567)$.
Quindi $H_1 H_2$ contiene l'elemento $b = (14)(25)(4567)$.
$H_1 H_2$ inoltre contiene naturalmente $a = (4765)$ (che è l'inverso di $(4567)$) visto che contiene $H_2$.
Tuttavia $H_1 H_2$ non contiene $ab$ (che è il coniugato di $(14)(25)$ mediante $(4765)$).
Infatti si può verificare piuttosto velocemente che $ab$ è un 2-2 ciclo che lascia fisso il 4, mentre l'unico elemento della forma $h_1 h_2$ in $H_1 H_2$ che lascia fisso 4 è $(1542)(45)(67)$ che non è un 2-2 ciclo.
In conclusione poichè esistono $a, b in H_1 H_2$ tali che $ab !in H_1 H_2$ allora $H_1 H_2$ non è un sottogruppo.
Tutto chiaro?
Attenzione nel tuo post come hai coniugato il 2-2 ciclo.. un elemento $h$ si coniuga mediante un altro elemento $g$ considerando l'elemento $ghg^{-1}$
$H_1$ contiene il 2-2 ciclo $(14)(25)$, e $H_2$ contiene $(4567)$.
Quindi $H_1 H_2$ contiene l'elemento $b = (14)(25)(4567)$.
$H_1 H_2$ inoltre contiene naturalmente $a = (4765)$ (che è l'inverso di $(4567)$) visto che contiene $H_2$.
Tuttavia $H_1 H_2$ non contiene $ab$ (che è il coniugato di $(14)(25)$ mediante $(4765)$).
Infatti si può verificare piuttosto velocemente che $ab$ è un 2-2 ciclo che lascia fisso il 4, mentre l'unico elemento della forma $h_1 h_2$ in $H_1 H_2$ che lascia fisso 4 è $(1542)(45)(67)$ che non è un 2-2 ciclo.
In conclusione poichè esistono $a, b in H_1 H_2$ tali che $ab !in H_1 H_2$ allora $H_1 H_2$ non è un sottogruppo.
Tutto chiaro?
Attenzione nel tuo post come hai coniugato il 2-2 ciclo.. un elemento $h$ si coniuga mediante un altro elemento $g$ considerando l'elemento $ghg^{-1}$
"claudiamatica":
Il consiglio di coniugare il 2-2 ciclo è da intendere in questo modo:
$H_1$ contiene il 2-2 ciclo $(14)(25)$, e $H_2$ contiene $(4567)$.
Quindi $H_1 H_2$ contiene l'elemento $b = (14)(25)(4567)$.
$H_1 H_2$ inoltre contiene naturalmente $a = (4765)$ (che è l'inverso di $(4567)$) visto che contiene $H_2$.
Tuttavia $H_1 H_2$ non contiene $ab$ (che è il coniugato di $(14)(25)$ mediante $(4765)$).
Infatti si può verificare piuttosto velocemente che $ab$ è un 2-2 ciclo che lascia fisso il 4, mentre l'unico elemento della forma $h_1 h_2$ in $H_1 H_2$ che lascia fisso 4 è $(1542)(45)(67)$ che non è un 2-2 ciclo.
In conclusione poichè esistono $a, b in H_1 H_2$ tali che $ab !in H_1 H_2$ allora $H_1 H_2$ non è un sottogruppo.
Tutto chiaro?
Attenzione nel tuo post come hai coniugato il 2-2 ciclo.. un elemento $h$ si coniuga mediante un altro elemento $g$ considerando l'elemento $ghg^{-1}$
OK, ho capito il concetto di coniugato.
Ma $ab$ può essere solo il prodotto di $a$$*$$b$?
In un esempio ho visto che per trovare gli elementi del gruppo prodotto fa semplicemente il prodotto dei due cicli appartenenti a gruppi diversi.
è proprio questo il punto. Gli elementi del prodotto $HK$ sono solo quelli del tipo $hk$ con $h in H$ e $k in K$, quindi (usando le lettere del mio esempio) $a$ e $b$ sono elementi di $HK$.
Per definizione di gruppo, affinchè $HK$ sia un gruppo (in particolare un sottogruppo di $S_8$) deve essere chiuso rispetto all'operazione (nel nostro caso il prodotto) e non lo è, visto che esistono $a, b in HK$ tali che $ab$ non ci appartiene.
Chiaro?
Per definizione di gruppo, affinchè $HK$ sia un gruppo (in particolare un sottogruppo di $S_8$) deve essere chiuso rispetto all'operazione (nel nostro caso il prodotto) e non lo è, visto che esistono $a, b in HK$ tali che $ab$ non ci appartiene.
Chiaro?
OK perfetto.
Riportavo l'esempio, perchè in effetti ho trovato molti esempi in $H_1H_2$ per cui moltiplicando gli elementi di questo gruppo trovavo elementi che non vi appartenevano.
Grazie di tutto
Emanule
PS
Scusa della ripetitività delle mie domande, ma preferisco farle adesso che chiedermele durante l'esame : - )
Riportavo l'esempio, perchè in effetti ho trovato molti esempi in $H_1H_2$ per cui moltiplicando gli elementi di questo gruppo trovavo elementi che non vi appartenevano.
Grazie di tutto
Emanule
PS
Scusa della ripetitività delle mie domande, ma preferisco farle adesso che chiedermele durante l'esame : - )
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