Permutazioni e cicli
Salve ragazzi
In merito a questo ciclo $(1245)(5647)(368)$ devo calcolarlo in cicli disgiunti.
A me viene $(1271)(346583)$
Grazie in anticipo
Emanuele
In merito a questo ciclo $(1245)(5647)(368)$ devo calcolarlo in cicli disgiunti.
A me viene $(1271)(346583)$
Grazie in anticipo
Emanuele
Risposte
non si scrivono così bensì [tex]\left( 127\right) \left( 34658\right)[/tex]
comunque non mi sembra giusto, tu leggi da destra a sinistra o viceversa?
comunque non mi sembra giusto, tu leggi da destra a sinistra o viceversa?
"blackbishop13":
non si scrivono così bensì [tex]\left( 127\right) \left( 34658\right)[/tex]
comunque non mi sembra giusto, tu leggi da destra a sinistra o viceversa?
Ciao, si hai ragione ho sbagliato nello scrivere. Cmq ho così argomentato:
$1$ $->$ $2$
$2$ $->$ $4$ $->$ $4$ $->$ $7$
$3$ $->$ $6$ $->$ $6$ $->$ $4$
$4$ $->$ $5$ $->$ $5$ $->$ $6$
Da questo punto ho dei dubbi.
Attento perchè i prodotti tra permutazioni si leggono da destra a sinistra.
Se tu hai le permutazioni, per dire, $\sigma = (1345)$ $\tau=(12)(35)$ allora considerare la permutazione $\sigma \tau = (1345)(12)(35)$ vuol dire applicare prima $\tau$ e poi $\sigma$.
Quindi $2 \rightarrow 1 \rightarrow 3$
$3 \rightarrow 5 \rightarrow 1$
$1 \rightarrow 2$
$4 \rightarrow 3 \rightarrow 4$
$4 \rightarrow 5$
e $\sigma \tau = (123)(45)$
Se tu hai le permutazioni, per dire, $\sigma = (1345)$ $\tau=(12)(35)$ allora considerare la permutazione $\sigma \tau = (1345)(12)(35)$ vuol dire applicare prima $\tau$ e poi $\sigma$.
Quindi $2 \rightarrow 1 \rightarrow 3$
$3 \rightarrow 5 \rightarrow 1$
$1 \rightarrow 2$
$4 \rightarrow 3 \rightarrow 4$
$4 \rightarrow 5$
e $\sigma \tau = (123)(45)$
"claudiamatica":
Attento perchè i prodotti tra permutazioni si leggono da destra a sinistra.
Se tu hai le permutazioni, per dire, $\sigma = (1345)$ $\tau=(12)(35)$ allora considerare la permutazione $\sigma \tau = (1345)(12)(35)$ vuol dire applicare prima $\tau$ e poi $\sigma$.
Quindi $2 \rightarrow 1 \rightarrow 3$
$3 \rightarrow 5 \rightarrow 1$
$1 \rightarrow 2$
$4 \rightarrow 3 \rightarrow 4$
$4 \rightarrow 5$
e $\sigma \tau = (123)(45)$
grazie della precisazione, tuttavia non capisco una cosa, se si legge da destra a sinistra, come mai al punto 2, fai $3$ $->$ $5$ $->$ $1$?
Non è da sinistra a destra questa lettura?
Infine la permutazione da me postata non mi sembra del tipo $\sigma \tau$
Poichè $\sigma$ e $\tau$ sono permutazioni generiche (non necessariamente già scritte come prodotto di cicli disgiunti) la tua permutazione può certamente essere vista nella forma $\sigma \tau$, per esempio ponendo $\sigma = (1245)$ e $\tau = (5647)(368)$
Comunque nel mio esempio l'associazione viene dal fatto che $\tau$ manda 3 in 5 e $\sigma$ manda 5 in 1.
Ti sono chiare queste cose o ci sono ancora dubbi?
Comunque nel mio esempio l'associazione viene dal fatto che $\tau$ manda 3 in 5 e $\sigma$ manda 5 in 1.
Ti sono chiare queste cose o ci sono ancora dubbi?
"claudiamatica":
Poichè $\sigma$ e $\tau$ sono permutazioni generiche (non necessariamente già scritte come prodotto di cicli disgiunti) la tua permutazione può certamente essere vista nella forma $\sigma \tau$, per esempio ponendo $\sigma = (1245)$ e $\tau = (5647)(368)$
Comunque nel mio esempio l'associazione viene dal fatto che $\tau$ manda 3 in 5 e $\sigma$ manda 5 in 1.
Ti sono chiare queste cose o ci sono ancora dubbi?
Ciao, purtroppo ho ancora dubbi.
Mi chiedo se vi sia una regola generale per fare qusti calcoli.
Mi chiedo ancora quando si comincia verso destra e quando verso sinistra e viceversa, oppure è ininfluente.
Si lo ammetto sono un po confuso, perchè non riesco a capire la regola generale.
Applicando la classica regola mi verrebbe data la seguente permutazione $\sigma = (1245)(5647)(368)$
Partiamo da $1$
$1$ $->$ $2$
$2$ $->$ $4$ $->$ $4$ $->$ $7$
$3$ $->$ $6$ $->$ $6$ $->$ $4$
Non vado oltre perchè mi hai gia detto che è sbagliato, e quindi vorrei capire sulla base di questo esempio la regola generale.
Immaginiamo di leggere da destra a sinistra i due cicli otteniamo:
$8$ $->$ $3$
$7$ $->$ $5$ $->$ $5$ $->$ $1$
$6$ $->$ $->$ $8$
$5$ $->$ $6$
$4$ $->$ $7$
$3$ $->$ $6$ $->$ $4$
Ma anche $2$ sembrerebbe mandato in $7$
$8$ $->$ $3$
$7$ $->$ $5$ $->$ $5$ $->$ $1$
$6$ $->$ $->$ $8$
$5$ $->$ $6$
$4$ $->$ $7$
$3$ $->$ $6$ $->$ $4$
Ma anche $2$ sembrerebbe mandato in $7$
ok chiariamo il fraintendimento sulla notazione:
un ciclo si legge da sinistra a destra, nel senso che (1456) significa che 1 va in 4, 4 va in 5, 5 va in 6 e 6 va in 1.
Un prodotto di permutazioni si legge da destra a sinistra, nel senso che si applica prima la permutazione più a destra.
un ciclo si legge da sinistra a destra, nel senso che (1456) significa che 1 va in 4, 4 va in 5, 5 va in 6 e 6 va in 1.
Un prodotto di permutazioni si legge da destra a sinistra, nel senso che si applica prima la permutazione più a destra.
"claudiamatica":
ok chiariamo il fraintendimento sulla notazione:
un ciclo si legge da sinistra a destra, nel senso che (1456) significa che 1 va in 4, 4 va in 5, 5 va in 6 e 6 va in 1.
Un prodotto di permutazioni si legge da destra a sinistra, nel senso che si applica prima la permutazione più a destra.
Ok, questo l'ho capito perfettamente. Volevo chiederti l'ordine da destra a sinistra, comunque deve rispettare l'ordine dei numeri, cioè prima capire dove va l'$1$ ecc ecc, oppure si parte proprio dal $1$ ciclo da destra.
Se così fosse è corretto lo svolgimento che ho postato subito primo del tuo post?
E se il $4$ va in $7$, il $2$ che viene mandato in $4$ e quindi in $7$ viene mandato all'elemento successivo in quanto il $7$ è già impegnato?
Grazie
Applicado la lettura da destra dovrebbe essere
$8$ $->$ $3$
$7$ $->$ $5$ $->$ $5$ $->$ $1$
$6$ $->$ $8$
$5$ $->$ $6$
$4$ $->$ $7$
$3$ $->$ $6$ $->$ $4$
$2$ $->$ $4$ $->$ $7$ $->$ $5$
$1$ $->$ $2$
$8$ $->$ $3$
$7$ $->$ $5$ $->$ $5$ $->$ $1$
$6$ $->$ $8$
$5$ $->$ $6$
$4$ $->$ $7$
$3$ $->$ $6$ $->$ $4$
$2$ $->$ $4$ $->$ $7$ $->$ $5$
$1$ $->$ $2$
E' indifferente decidere in che ordine vuoi "scoprire" dive viene mandato ciascun numero. L'importante è non fare errori di calcolo.
L'errore che hai fatto tu è questo.
L' 1 va in 2, ok.
Poi prendiamo il 2.
Sul 2 agisce solo l'ultima permutazione, cioè quella + a sinistra
quindi hai l'associazione $2\rightarrow 4$. E stop.
Cioè a questo punto ormai l'associazione "il 2 va in 4 è definitiva, perchè le permutazioni a destra hanno già agito, quella a sinistra è l'ultima ad agire.
il 3 va in 6, e sempre leggendo dalle permutazioni di destra verso quelle di sinistra il 6 compare ancora, e va in 4. Andando ancora verso sinistra (nel senso che considero il ciclo a sinistra di quello in cui mi trovo) il 4 va in 5, quindi alla fine $3\rightarrow 5$.
E così via, il 4 va in 7 e si ferma, perchè nel ciclo di sinistra il 7 non va + da nessuna parte.
Il 5 va in 6 e si ferma
il 6 va in 8 e si ferma
il 7 va in 5, che va in 1
e l'8 va in 3, e si ferma
L'errore che hai fatto tu è questo.
L' 1 va in 2, ok.
Poi prendiamo il 2.
Sul 2 agisce solo l'ultima permutazione, cioè quella + a sinistra
quindi hai l'associazione $2\rightarrow 4$. E stop.
Cioè a questo punto ormai l'associazione "il 2 va in 4 è definitiva, perchè le permutazioni a destra hanno già agito, quella a sinistra è l'ultima ad agire.
il 3 va in 6, e sempre leggendo dalle permutazioni di destra verso quelle di sinistra il 6 compare ancora, e va in 4. Andando ancora verso sinistra (nel senso che considero il ciclo a sinistra di quello in cui mi trovo) il 4 va in 5, quindi alla fine $3\rightarrow 5$.
E così via, il 4 va in 7 e si ferma, perchè nel ciclo di sinistra il 7 non va + da nessuna parte.
Il 5 va in 6 e si ferma
il 6 va in 8 e si ferma
il 7 va in 5, che va in 1
e l'8 va in 3, e si ferma
Grazie Claudia quindi il miei errori sono stati $2$ $->$ $4$ e il $3$ $->$ $5$, devo dire che se l'ultimo è stato un errore effttivamente, del primo ho visto solo esempi che andavano nella direzione da me presa. Quindi il $2$ $->$ $4$ e stop, perchè su di esso agisce l'ultima permutazione.
Abbiamo quindi trovato che la permutazione espressa in cicli disgiunti è $(1247)(3568)$
L'esercizio mi chiede di trovare l'ordine di questa permutazione che è l$mcm$ dei suoi cicli disgiunti quindi è $4$.
L'esercizio prosegue e mi chiede di:
Dire quali sono i possibili ordine degli elementi di $S_8$ e trovarne almeno uno per ogni ordine $>8$
E qui ho qualche ("eufemismo") dubbio.
Come si trovano gli elementi di $S_8$? essi non sono $8!$? Sono in generale i cicli che si possono formare in $S_8$
Il loro ordine se considerato come $mcm$ di tutti i possibili cicli in cui è possibile scomporre le permutazioni di $S_8$ può oscillare tra $1$ e $15$ inteso come $mcm(3,5)$ il valore massimo?
Un possibile elemento di ordine maggiore di $8$ in $S_8$ può essere una permutazione i cui cicli sono di ordine $1$, $3$ e $4$ per cui l'ordine dell'elemento è $12$, e quindi per esempio $(132)(4657)(8)$?
Grazie in anticipo per il contributo.
L'esercizio mi chiede di trovare l'ordine di questa permutazione che è l$mcm$ dei suoi cicli disgiunti quindi è $4$.
L'esercizio prosegue e mi chiede di:
Dire quali sono i possibili ordine degli elementi di $S_8$ e trovarne almeno uno per ogni ordine $>8$
E qui ho qualche ("eufemismo") dubbio.
Come si trovano gli elementi di $S_8$? essi non sono $8!$? Sono in generale i cicli che si possono formare in $S_8$
Il loro ordine se considerato come $mcm$ di tutti i possibili cicli in cui è possibile scomporre le permutazioni di $S_8$ può oscillare tra $1$ e $15$ inteso come $mcm(3,5)$ il valore massimo?
Un possibile elemento di ordine maggiore di $8$ in $S_8$ può essere una permutazione i cui cicli sono di ordine $1$, $3$ e $4$ per cui l'ordine dell'elemento è $12$, e quindi per esempio $(132)(4657)(8)$?
Grazie in anticipo per il contributo.
Esatto. I possibili ordini in $S_8$ sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, ed esempi di elementi con ordine maggiore di 8 si ottengono come hai suggerito tu, cioè come prodotto di cicli disgiunti che hanno mcm tra gli ordini 12 e 15
Quindi ok per $(132)(4657)$, per l'ordine 12 (perchè l'hai scritto con l' $(8)$ finale?:D
e non dovrebbe essere difficile dare un esempio di permutazione con ordine 15.
Quindi ok per $(132)(4657)$, per l'ordine 12 (perchè l'hai scritto con l' $(8)$ finale?:D
e non dovrebbe essere difficile dare un esempio di permutazione con ordine 15.
"claudiamatica":
Esatto. I possibili ordini in $S_8$ sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, ed esempi di elementi con ordine maggiore di 8 si ottengono come hai suggerito tu, cioè come prodotto di cicli disgiunti che hanno mcm tra gli ordini 12 e 15
Quindi ok per $(132)(4657)$, per l'ordine 12 (perchè l'hai scritto con l' $(8)$ finale?:D
e non dovrebbe essere difficile dare un esempio di permutazione con ordine 15.
Ciao Claudia grazie della conferma. Ti dirò una curiosità, mentre scrivevo qui sul FOL visualizzavo le soluzioni e mi sembravano convincenti. Voglio dire prima di scrivere non ne avevo idea, scrivendo invece mi sono venute in mente.
L'esercizio prosegue chiedendo
1)perchè in $S_8$ esiste un sottogruppo isomorfo a $Z_3$$X$$Z_3$ ma non uno isomorfo a $Z_9$
Questo dovrebbe essere semplice perchè esistono cicli di ordine $3$ mentre non esistono in $S_8$ cicli di ordine $9$.
2) Che ordine hanno i $2$-sottogruppi di Sylow di $S_8$?
Sappiamo che l'ordine di $S_8$ è $8!$ utilizzando Sylow e in particolare il fatto che $n_2 = 1 + 2t$, ottengo che i $2$ sottogruppi di Sylow sono $13.440$
Questo nel caso abbia interpretato bene la richiesta, nel senso di individuare l'ordine dei sottogruppi che contengono elementi di ordine $2$.
La 1) è giusta. Se esistesse un sottogruppo isomorfo a $ZZ_9$ (ciclico) dovrebbe esistere un elemento in $S_8$ di periodo $9$ il che è assurdo.
La 2) invece no. L'ordine di un sylow è pari alla potenza del primo relativo. Devi considerare $8! =2^7*3^2*5*7$ e vedere la potenza relativa al $2$. Cioè $7$ pertanto i $2$-sylow avranno ordine $2^7$. Non devi contarli.
La 2) invece no. L'ordine di un sylow è pari alla potenza del primo relativo. Devi considerare $8! =2^7*3^2*5*7$ e vedere la potenza relativa al $2$. Cioè $7$ pertanto i $2$-sylow avranno ordine $2^7$. Non devi contarli.
Grazie della precisazione, sconoscevo questo aspetto.
Infine ho il seguente quesito:
Siano ora $H_1 =<(1245)>$, $H_2 =<(5647)>$, $H_3 =<(368)>$, $K =<(a)>$, determinare $H_1 nn H_2$, $H_3 nn K$. E' $H_1, H_2$ un sottogruppo di $S_8$? E $H_1H_2$?
Essendo $H_1$, $H_2$ ciclici $H_1 nn H_2$ dovrebbe essere $mcm$ dell'ordine dei due gruppi, il punto è che non so calcolarmi $H_1 nn H_2$
Come posso procedere?
Infine ho il seguente quesito:
Siano ora $H_1 =<(1245)>$, $H_2 =<(5647)>$, $H_3 =<(368)>$, $K =<(a)>$, determinare $H_1 nn H_2$, $H_3 nn K$. E' $H_1, H_2$ un sottogruppo di $S_8$? E $H_1H_2$?
Essendo $H_1$, $H_2$ ciclici $H_1 nn H_2$ dovrebbe essere $mcm$ dell'ordine dei due gruppi, il punto è che non so calcolarmi $H_1 nn H_2$
Come posso procedere?
Attento.
$H_1 \cap H_2$ è il gruppo banale, hanno solo l'identità come intersezione.
$\alpha$ chi sarebbe? $(1247)(3568)$ ?
$H_1 \cap H_2$ è il gruppo banale, hanno solo l'identità come intersezione.
$\alpha$ chi sarebbe? $(1247)(3568)$ ?
"claudiamatica":
Attento.
$H_1 \cap H_2$ è il gruppo banale, hanno solo l'identità come intersezione.
$\alpha$ chi sarebbe? $(1247)(3568)$ ?
Quindi posso dire che i due gruppi sono distinti e separati e la loro intersezione è solo l'identità.
Per quanto riguarda $a$ si è la permutazione iniziale. Quindi seguendo le informazioni da te apprese, l'intersezione dovrebbe essere il gruppo formato da $368$.
e ambedue le intersezioni dovrebbero essere elementi di $S_8$
Attento.
$K$ è generato da quella permutazione di ordine 4, quindi è anche lui un gruppo ciclico di 4 elementi, che ha intersezione nulla con $H_3 = <(368)>$.
Poi attento a dire che sono "elementi di $S_8$" forse intendi dire che sono sottogruppi di $S_8$.
Comunque si le intersezioni che ci sono lì direi che danno tutte il gruppo banale.
Per quanto riguarda la domanda su $H_1 H_2$.. (che penso ti sia stato definito come l'insieme dei possibili prodotti fra elementi di $H_1$ a sinistra ed elementi di $H_2$ a destra) fai un po' di conti e vedi che ti esce fuori..
$K$ è generato da quella permutazione di ordine 4, quindi è anche lui un gruppo ciclico di 4 elementi, che ha intersezione nulla con $H_3 = <(368)>$.
Poi attento a dire che sono "elementi di $S_8$" forse intendi dire che sono sottogruppi di $S_8$.
Comunque si le intersezioni che ci sono lì direi che danno tutte il gruppo banale.
Per quanto riguarda la domanda su $H_1 H_2$.. (che penso ti sia stato definito come l'insieme dei possibili prodotti fra elementi di $H_1$ a sinistra ed elementi di $H_2$ a destra) fai un po' di conti e vedi che ti esce fuori..
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