Permutazioni di fattori
Salve,
per completare una dimostrazione avrei bisogno di provare quanto segue: sia $G={a_1,...a_n}$ un insieme finito in cui è definita una operazione binaria associativa tale che valgono le leggi di cancellazione destra e sinistra. Dette $sigma, tau \in S_n$ (gruppo simmetrico di grado $n$), $a_(sigma(1))...a_(sigma(n))=a_(tau(1))...a_(tau(n)) Rightarrow sigma=tau$.
per completare una dimostrazione avrei bisogno di provare quanto segue: sia $G={a_1,...a_n}$ un insieme finito in cui è definita una operazione binaria associativa tale che valgono le leggi di cancellazione destra e sinistra. Dette $sigma, tau \in S_n$ (gruppo simmetrico di grado $n$), $a_(sigma(1))...a_(sigma(n))=a_(tau(1))...a_(tau(n)) Rightarrow sigma=tau$.
Risposte
Scusate, ho dimenticato di dire che $G$ è chiuso rispetto all'operazione.
Grazie
Grazie
Cosa ti fa pensare che sia vero?
"luca69":
Scusate, ho dimenticato di dire che $G$ è chiuso rispetto all'operazione.
Grazie
Non è che l'hai dimenticato, è implicito nel significato di "vi è definita una operazione".
Comunque il tuo claim è falso: prendi un gruppo abeliano qualsiasi: $xy=yx$ e tuttavia la permutazione \((12)\in\mathfrak{Sym}(2)\) è distinta dalla permutazione \((21)\in\mathfrak{Sym}(2)\). Se non altro perché \(2!=2\ne 1\).
già... Ok, grazie
Ciao,
riprendo questo thread per chiedervi se la dimostrazione impostata come segue può essere portata a termine (in tal caso, evidentemente non per la via che ipotizzavo nel post di apertura, visto che conteneva un claim falso).
Allora, devo dimostrare che $G$ è un gruppo; limito però la discussione alla dimostrazione dell'esistenza di un elemento neutro. Per $i=1,...,n$, definiamo gli insiemi $S_((i))={a_ia_j, j=1,...,n}$ e $S^((i))={a_ja_i, j=1,...,n}$, e le applicazioni $\varphi_((i)): G \rightarrow S_((i))$, $\varphi^((i)): G \rightarrow S^((i))$ mediante rispettivamente $a_j \mapsto a_ia_j$ e $a_j \mapsto a_ja_i$. Le $\varphi_((i))$ e $\varphi^((i))$ sono iniettive per le leggi di cancellazione destra e sinistra, e suriettive per costruzione, quindi sono biiettive. Ma allora $|S_((i))|=|S^((i))|=|G|$; per la chiusura, poi, $s \in S_((i)) \Rightarrow s \in G$ e $s \in S^((i)) \Rightarrow s \in G$, per cui $S_((i)) \subseteq G$ e $S^((i)) \subseteq G$, e quindi $S_((i))=S^((i))=G$. Pertanto, $\varphi_((i)),\varphi^((i)) \in A(G)$ (l'insieme delle biiezioni su $G$): mi piacerebbe trovare un argomento per concludere che una delle $\varphi_((i))$ (e analogamente una delle $\varphi^((i))$) deve essere la funzione identica di $G$, perché questo dimostrerebbe appunto l'esistenza di un elemento neutro sinistro (e destro, rispettivamente). Il problema è che le $\varphi_((i))$, pur distinte, sono $n$, mentre $A(G)$ ha $n!$ elementi, e idem per le $\varphi^((i))$... E' una via senza sbocco?
Grazie
riprendo questo thread per chiedervi se la dimostrazione impostata come segue può essere portata a termine (in tal caso, evidentemente non per la via che ipotizzavo nel post di apertura, visto che conteneva un claim falso).
Allora, devo dimostrare che $G$ è un gruppo; limito però la discussione alla dimostrazione dell'esistenza di un elemento neutro. Per $i=1,...,n$, definiamo gli insiemi $S_((i))={a_ia_j, j=1,...,n}$ e $S^((i))={a_ja_i, j=1,...,n}$, e le applicazioni $\varphi_((i)): G \rightarrow S_((i))$, $\varphi^((i)): G \rightarrow S^((i))$ mediante rispettivamente $a_j \mapsto a_ia_j$ e $a_j \mapsto a_ja_i$. Le $\varphi_((i))$ e $\varphi^((i))$ sono iniettive per le leggi di cancellazione destra e sinistra, e suriettive per costruzione, quindi sono biiettive. Ma allora $|S_((i))|=|S^((i))|=|G|$; per la chiusura, poi, $s \in S_((i)) \Rightarrow s \in G$ e $s \in S^((i)) \Rightarrow s \in G$, per cui $S_((i)) \subseteq G$ e $S^((i)) \subseteq G$, e quindi $S_((i))=S^((i))=G$. Pertanto, $\varphi_((i)),\varphi^((i)) \in A(G)$ (l'insieme delle biiezioni su $G$): mi piacerebbe trovare un argomento per concludere che una delle $\varphi_((i))$ (e analogamente una delle $\varphi^((i))$) deve essere la funzione identica di $G$, perché questo dimostrerebbe appunto l'esistenza di un elemento neutro sinistro (e destro, rispettivamente). Il problema è che le $\varphi_((i))$, pur distinte, sono $n$, mentre $A(G)$ ha $n!$ elementi, e idem per le $\varphi^((i))$... E' una via senza sbocco?
Grazie
Come è definito \(G\)? Insomma qual'è esattamente il testo del tuo problema?
$G$ è definito come segue:
Devo
ovvero che esistono un elemento neutro sinistro e destro, coincidenti, e che ogni elemento di $G$ ha un inverso. Il mio tentativo nel post precedente si limitava a cercare di dimostrare l'esistenza di un elemento neutro, ma senza successo perchè non riesco a dimostrare che una delle $\varphi_((i))$ deve necessariamente coincidere con $\iota_G$, l'applicazione identica di $G$; prima di scartare definitivamente il tentativo, mi chiedevo se vedete la possibilità di modificarlo in qualche punto per arrivare alla conclusione desiderata.
Grazie
"luca69":
sia $ G={a_1,...a_n} $ un insieme finito in cui è definita una operazione binaria associativa tale che valgono le leggi di cancellazione destra e sinistra.
Devo
"luca69":
dimostrare che $ G $ è un gruppo.
ovvero che esistono un elemento neutro sinistro e destro, coincidenti, e che ogni elemento di $G$ ha un inverso. Il mio tentativo nel post precedente si limitava a cercare di dimostrare l'esistenza di un elemento neutro, ma senza successo perchè non riesco a dimostrare che una delle $\varphi_((i))$ deve necessariamente coincidere con $\iota_G$, l'applicazione identica di $G$; prima di scartare definitivamente il tentativo, mi chiedevo se vedete la possibilità di modificarlo in qualche punto per arrivare alla conclusione desiderata.
Grazie
Una funzione iniettiva da un insieme in sé stesso è suriettiva; questo risolve il problema, perché?
Prima di usare il suggerimento è meglio che lo capisca, perché non mi torna...: ora, posti $A={1,2,3}$, $B=A\uu{4}$ e $f:A\rightarrow B$, $x \mapsto x$, direi che: $A$ e $B$ sono finiti, $f$ è iniettiva ma non è suriettiva, no?
Avevo sbagliato 
Riprendo questo thread per completare (correttamente?) la dimostrazione impostata precedentemente. Per facilitare la consultazione, riepilogo ipotesi, tesi e dimostrazione.
Sia $G={a_1,...,a_n}$ un insieme finito in cui è definita una operazione binaria associativa tale che valgono le leggi di cancellazione destra e sinistra. Dimostrare che $G$ è un gruppo.
(@killing_buddha: il tuo suggerimento mi fa pensare che la cosa si possa dimostrare "in una riga", ma -non riuscendo a coglierlo- ho provato a portare in fondo l'idea iniziale di "farmi aiutare" da un gruppo noto, quello delle permutazioni)
Per $i=1,...,n$, definiamo gli insiemi $S_((i))={a_ia_j,j=1,...,n}$ e $S^((i))={a_ja_i,j=1,...,n}$, e le applicazioni $φ_((i)):G→S_((i))$, $φ^((i)):G→S^((i))$ mediante, rispettivamente, $a_j↦a_ia_j$ e $a_j↦a_ja_i$. Le $φ_((i))$ e $φ^((i))$ sono iniettive per le leggi di cancellazione destra e sinistra, e suriettive per costruzione, quindi sono biiettive. Ma allora $|S_((i))|=|S^((i))|=|G|$; per la chiusura, poi, $s∈S_((i))⇒s∈G$ e $s∈S^((i))⇒s∈G$, per cui $S_((i))⊆G$ e $S^((i))⊆G$, e quindi $S_((i))=S^((i))=G$. Pertanto, $φ_((i)),φ^((i))∈A(G)$ (l'insieme delle biiezioni su $G$).
Ogni $\varphi_((i)) \in A(G)$ individua una ed una sola permutazione $\sigma_i \in S_n$ (il gruppo simmetrico di grado $n$) attraverso la posizione [highlight]$\varphi_((i))(a_j)=a_(\sigma_i(j))$[/highlight]; analogamente, ogni $\varphi^((i)) \in A(G)$ individua una ed una sola permutazione $\tau_i \in S_n$ attraverso la posizione [highlight]$\varphi^((i))(a_j)=a_(\tau_i(j))$[/highlight].
Innanzitutto, essendo gli $a_1,...,a_n$ distinti, $a_(\sigma_i(j))=\varphi_((i))(a_j)=a_ia_j=\varphi^((j))(a_i)=a_(\tau_j(i))$, da cui:
Poi, per la proprietà associativa, $(a_ia_j)a_k=a_i(a_ja_k) \Rightarrow \varphi^((k))(a_ia_j)=\varphi_((i))(a_ja_k) \Rightarrow \varphi^((k))(\varphi_((i))(a_j))=$ $\varphi_((i))(\varphi^((k))(a_j)) \Rightarrow \varphi^((k))(a_(\sigma_i(j)))=\varphi_((i))(a_(\tau_k(j))) \Rightarrow a_(tau_k(\sigma_i(j)))=a_(\sigma_i(\tau_k(j))) \Rightarrow \tau_k(\sigma_i(j))=\sigma_i(\tau_k(j)) \Rightarrow$ $(tau_k\sigma_i)(j)=(\sigma_i\tau_k)(j)$, da cui:
e da questa:
Elemento neutro
Ora, (2)$\Rightarrow (tau_k\sigma_i)(j)=(\sigma_i\tau_k)(j), \AAi,j,k \Rightarrow tau_k(\sigma_i(j))=\sigma_i(\tau_k(j)), \AAi,j,k \Rightarrow$[per (1)] $\tau_k(\tau_j(i))=\sigma_i(\sigma_j(k)), \AAi,j,k \Rightarrow$[per (1)] $\sigma_(\tau_j(i))(k)=(\sigma_i\sigma_j)(k), \AAi,j,k \Rightarrow$ [highlight]$\sigma_(\tau_j(i))=\sigma_i\sigma_j, \AAi,j$[/highlight]. Pertanto, $\Sigma:={\sigma_i} \subseteq S_n$ è [highlight]chiuso[/highlight] rispetto alla composizione e quindi [highlight]$\Sigma<=S_n$[/highlight]; ma allora [highlight]$\iota_(S_n) \in \Sigma$[/highlight], ovvero $\EE\bari$ tale che $\sigma_(\bari)(j)=j, \AAj$, ossia $\EE\bari$ tale che $a_(bari)a_j=\varphi_((\bari))(a_j)=a_(\sigma_(\bari)(j))=a_j, \AAj$, e $a_(\bari)$ è elemento neutro sinistro.
Analogamente, (2)$\Rightarrow (tau_k\sigma_i)(j)=(\sigma_i\tau_k)(j), \AAi,j,k \Rightarrow tau_k(\sigma_i(j))=\sigma_i(\tau_k(j)), \AAi,j,k \Rightarrow$[per (1)] $\tau_k(\tau_j(i))=\sigma_i(\sigma_j(k)), \AAi,j,k \Rightarrow$[per (1)] $(\tau_k\tau_j)(i)=\tau_(\sigma_j(k))(i), \AAi,j,k \Rightarrow$ [highlight]$\tau_k\tau_j=\tau_(\sigma_j(k)), \AAj,k$[/highlight]. Pertanto, $T:={\tau_i} \subseteq S_n$ è [highlight]chiuso[/highlight] rispetto alla composizione e quindi [highlight]$T<=S_n$[/highlight]; ma allora [highlight]$\iota_(S_n) \in T$[/highlight], ovvero $\EE\bark$ tale che $\tau_(\bark)(j)=j, \AAj$, ossia $\EE\bark$ tale che $a_ja_(bark)=\varphi^((\bark))(a_j)=a_(\tau_(\bark)(j))=a_j, \AAj$, e $a_(\bark)$ è elemento neutro destro.
Per la legge di cancellazione (ad esempio a destra), $a_(bari)a_j=a_j=a_ja_(bark),\AAj \Rightarrow a_(bari)a_(bark)=a_(bark)a_(bark) \Rightarrow a_(bari)=a_(bark)$, per cui $a_(bari)$ è anche elemento neutro destro e quindi elemento neutro tout court.
Inverso
Essendo gli $a_1,...,a_n$ distinti, $a_bari=a_bark \Rightarrow bari=bark \Rightarrow sigma_bari=iota_(S_n)=tau_bark=tau_bari$. Pertanto, $sigma_bari(j)=j=tau_bari(j) \Rightarrow$ [per (1)] $tau_j(bari)=sigma_j(bari) \Rightarrow sigma_j^-1(tau_j(bari))=bari \Rightarrow $ [per (3)] $tau_j(sigma_j^-1(bari))=bari$, da cui:
Ebbene, $a_ja_(sigma_j^-1(bari))=varphi_((j))(a_(sigma_j^-1(bari)))=a_(sigma_j(sigma_j^-1(bari)))=a_bari, \AAj$, per cui $a_(sigma_j^-1(bari))$ è inverso destro di $a_j, \AAj$; inoltre, $a_(sigma_j^-1(bari))a_j=$ [per (4)] $a_(tau_j^-1(bari))a_j=varphi^((j))(a_(tau_j^-1(bari)))=a_(tau_j(tau_j^-1(bari)))=a_bari, \AAj$, per cui $a_(sigma_j^-1(bari))$ è anche inverso sinistro di $a_j, \AAj$. Questo completa la dimostrazione.
Sia $G={a_1,...,a_n}$ un insieme finito in cui è definita una operazione binaria associativa tale che valgono le leggi di cancellazione destra e sinistra. Dimostrare che $G$ è un gruppo.
(@killing_buddha: il tuo suggerimento mi fa pensare che la cosa si possa dimostrare "in una riga", ma -non riuscendo a coglierlo- ho provato a portare in fondo l'idea iniziale di "farmi aiutare" da un gruppo noto, quello delle permutazioni)
Per $i=1,...,n$, definiamo gli insiemi $S_((i))={a_ia_j,j=1,...,n}$ e $S^((i))={a_ja_i,j=1,...,n}$, e le applicazioni $φ_((i)):G→S_((i))$, $φ^((i)):G→S^((i))$ mediante, rispettivamente, $a_j↦a_ia_j$ e $a_j↦a_ja_i$. Le $φ_((i))$ e $φ^((i))$ sono iniettive per le leggi di cancellazione destra e sinistra, e suriettive per costruzione, quindi sono biiettive. Ma allora $|S_((i))|=|S^((i))|=|G|$; per la chiusura, poi, $s∈S_((i))⇒s∈G$ e $s∈S^((i))⇒s∈G$, per cui $S_((i))⊆G$ e $S^((i))⊆G$, e quindi $S_((i))=S^((i))=G$. Pertanto, $φ_((i)),φ^((i))∈A(G)$ (l'insieme delle biiezioni su $G$).
Ogni $\varphi_((i)) \in A(G)$ individua una ed una sola permutazione $\sigma_i \in S_n$ (il gruppo simmetrico di grado $n$) attraverso la posizione [highlight]$\varphi_((i))(a_j)=a_(\sigma_i(j))$[/highlight]; analogamente, ogni $\varphi^((i)) \in A(G)$ individua una ed una sola permutazione $\tau_i \in S_n$ attraverso la posizione [highlight]$\varphi^((i))(a_j)=a_(\tau_i(j))$[/highlight].
Innanzitutto, essendo gli $a_1,...,a_n$ distinti, $a_(\sigma_i(j))=\varphi_((i))(a_j)=a_ia_j=\varphi^((j))(a_i)=a_(\tau_j(i))$, da cui:
(1) $\sigma_i(j)=\tau_j(i), \AAi,j$
Poi, per la proprietà associativa, $(a_ia_j)a_k=a_i(a_ja_k) \Rightarrow \varphi^((k))(a_ia_j)=\varphi_((i))(a_ja_k) \Rightarrow \varphi^((k))(\varphi_((i))(a_j))=$ $\varphi_((i))(\varphi^((k))(a_j)) \Rightarrow \varphi^((k))(a_(\sigma_i(j)))=\varphi_((i))(a_(\tau_k(j))) \Rightarrow a_(tau_k(\sigma_i(j)))=a_(\sigma_i(\tau_k(j))) \Rightarrow \tau_k(\sigma_i(j))=\sigma_i(\tau_k(j)) \Rightarrow$ $(tau_k\sigma_i)(j)=(\sigma_i\tau_k)(j)$, da cui:
(2) $\tau_k\sigma_i=\sigma_i\tau_k, \AAi,k$
e da questa:
(3) $\sigma_i^(-1)\tau_k=\tau_k\sigma_i^(-1), \AAi,k$
Elemento neutro
Ora, (2)$\Rightarrow (tau_k\sigma_i)(j)=(\sigma_i\tau_k)(j), \AAi,j,k \Rightarrow tau_k(\sigma_i(j))=\sigma_i(\tau_k(j)), \AAi,j,k \Rightarrow$[per (1)] $\tau_k(\tau_j(i))=\sigma_i(\sigma_j(k)), \AAi,j,k \Rightarrow$[per (1)] $\sigma_(\tau_j(i))(k)=(\sigma_i\sigma_j)(k), \AAi,j,k \Rightarrow$ [highlight]$\sigma_(\tau_j(i))=\sigma_i\sigma_j, \AAi,j$[/highlight]. Pertanto, $\Sigma:={\sigma_i} \subseteq S_n$ è [highlight]chiuso[/highlight] rispetto alla composizione e quindi [highlight]$\Sigma<=S_n$[/highlight]; ma allora [highlight]$\iota_(S_n) \in \Sigma$[/highlight], ovvero $\EE\bari$ tale che $\sigma_(\bari)(j)=j, \AAj$, ossia $\EE\bari$ tale che $a_(bari)a_j=\varphi_((\bari))(a_j)=a_(\sigma_(\bari)(j))=a_j, \AAj$, e $a_(\bari)$ è elemento neutro sinistro.
Analogamente, (2)$\Rightarrow (tau_k\sigma_i)(j)=(\sigma_i\tau_k)(j), \AAi,j,k \Rightarrow tau_k(\sigma_i(j))=\sigma_i(\tau_k(j)), \AAi,j,k \Rightarrow$[per (1)] $\tau_k(\tau_j(i))=\sigma_i(\sigma_j(k)), \AAi,j,k \Rightarrow$[per (1)] $(\tau_k\tau_j)(i)=\tau_(\sigma_j(k))(i), \AAi,j,k \Rightarrow$ [highlight]$\tau_k\tau_j=\tau_(\sigma_j(k)), \AAj,k$[/highlight]. Pertanto, $T:={\tau_i} \subseteq S_n$ è [highlight]chiuso[/highlight] rispetto alla composizione e quindi [highlight]$T<=S_n$[/highlight]; ma allora [highlight]$\iota_(S_n) \in T$[/highlight], ovvero $\EE\bark$ tale che $\tau_(\bark)(j)=j, \AAj$, ossia $\EE\bark$ tale che $a_ja_(bark)=\varphi^((\bark))(a_j)=a_(\tau_(\bark)(j))=a_j, \AAj$, e $a_(\bark)$ è elemento neutro destro.
Per la legge di cancellazione (ad esempio a destra), $a_(bari)a_j=a_j=a_ja_(bark),\AAj \Rightarrow a_(bari)a_(bark)=a_(bark)a_(bark) \Rightarrow a_(bari)=a_(bark)$, per cui $a_(bari)$ è anche elemento neutro destro e quindi elemento neutro tout court.
Inverso
Essendo gli $a_1,...,a_n$ distinti, $a_bari=a_bark \Rightarrow bari=bark \Rightarrow sigma_bari=iota_(S_n)=tau_bark=tau_bari$. Pertanto, $sigma_bari(j)=j=tau_bari(j) \Rightarrow$ [per (1)] $tau_j(bari)=sigma_j(bari) \Rightarrow sigma_j^-1(tau_j(bari))=bari \Rightarrow $ [per (3)] $tau_j(sigma_j^-1(bari))=bari$, da cui:
(4) $sigma_j^-1(bari)=tau_j^-1(bari), \AAj$
Ebbene, $a_ja_(sigma_j^-1(bari))=varphi_((j))(a_(sigma_j^-1(bari)))=a_(sigma_j(sigma_j^-1(bari)))=a_bari, \AAj$, per cui $a_(sigma_j^-1(bari))$ è inverso destro di $a_j, \AAj$; inoltre, $a_(sigma_j^-1(bari))a_j=$ [per (4)] $a_(tau_j^-1(bari))a_j=varphi^((j))(a_(tau_j^-1(bari)))=a_(tau_j(tau_j^-1(bari)))=a_bari, \AAj$, per cui $a_(sigma_j^-1(bari))$ è anche inverso sinistro di $a_j, \AAj$. Questo completa la dimostrazione.
Io lo dimostrerei così:
Fissiamo un \(a\in G\). E' ben definito il morfismo di semigruppi \(\displaystyle \pi_a\colon \mathbb{N}\to G \) definito come \(n\mapsto a^n\). Questa mappa non è ovviamente iniettiva. Consideriamo quindi il più piccolo \(n\in \mathbb{N}\) tale che esiste un \(m\in \mathbb{N}\setminus \{n\}\) che soddisfa \(\displaystyle \pi_a(n) = \pi_a(m) \) ovvero tale che \(\displaystyle a^n = a^m \).
Siccome l'operazione è cancellabile a sinistra, si ha che \(a = a^{m-n+1}\). Sia dunque \(e_a = a^{m-n} = \pi_a\). Per l'associatività dell'operazione si ha \(a = ae_a = e_aa\).
Per ogni \(b\in G\) risulta \(ab = ae_ab\). Cancellando \(a\) a sinistra si ricava che \(b = e_ab\). Usando la cancellazione a destra in \(ba = be_aa\) si ricava invece che \(b = be_a\). Pertanto \(e_a\) è un elemento neutro di \(G\) per ogni \(a\in G\). Inoltre, per ogni \(a,b\in G\), \(e_a = e_ae_b = e_b\). Esiste quindi un solo elemento neutro e lo indico con \(e\).
Per ogni \(a\in G\setminus \{e\}\) definisco \(s_a\in \mathbb{N}\) come il più piccolo numero positivo tale che \(\pi_a(s_a+1) = e\). Dalla definizione risulta che \(\pi_a(s_a)a = a\pi_a(s_a) = e\). Questo conclude la dimostrazione.
P.S.: Ho considerato \(\mathbb{N}\) senza lo \(0\).
Fissiamo un \(a\in G\). E' ben definito il morfismo di semigruppi \(\displaystyle \pi_a\colon \mathbb{N}\to G \) definito come \(n\mapsto a^n\). Questa mappa non è ovviamente iniettiva. Consideriamo quindi il più piccolo \(n\in \mathbb{N}\) tale che esiste un \(m\in \mathbb{N}\setminus \{n\}\) che soddisfa \(\displaystyle \pi_a(n) = \pi_a(m) \) ovvero tale che \(\displaystyle a^n = a^m \).
Siccome l'operazione è cancellabile a sinistra, si ha che \(a = a^{m-n+1}\). Sia dunque \(e_a = a^{m-n} = \pi_a\). Per l'associatività dell'operazione si ha \(a = ae_a = e_aa\).
Per ogni \(b\in G\) risulta \(ab = ae_ab\). Cancellando \(a\) a sinistra si ricava che \(b = e_ab\). Usando la cancellazione a destra in \(ba = be_aa\) si ricava invece che \(b = be_a\). Pertanto \(e_a\) è un elemento neutro di \(G\) per ogni \(a\in G\). Inoltre, per ogni \(a,b\in G\), \(e_a = e_ae_b = e_b\). Esiste quindi un solo elemento neutro e lo indico con \(e\).
Per ogni \(a\in G\setminus \{e\}\) definisco \(s_a\in \mathbb{N}\) come il più piccolo numero positivo tale che \(\pi_a(s_a+1) = e\). Dalla definizione risulta che \(\pi_a(s_a)a = a\pi_a(s_a) = e\). Questo conclude la dimostrazione.
P.S.: Ho considerato \(\mathbb{N}\) senza lo \(0\).
"vict85":
Inoltre, per ogni \( a,b\in G \), \( e_a = e_ae_b = e_b \).
Se $e_a=a^(m-n)$, sarà anche $e_b=b^(k-l)$, per opportuni $m,n,k,l$. Ma allora come si deduce il risultato nel quote sopra?
PS. Ho modificato il post con la mia dimostrazione, completandola con l'esistenza dell'inverso. Mi rendo conto che non è un "approccio standard", ma mi piacerebbe che qualcuno confermasse se è comunque corretto. Grazie
"killing_buddha":
Una funzione iniettiva da un insieme in sé stesso è suriettiva; questo risolve il problema, perché?
Forse ora ho capito il suggerimento... Per la legge di cancellazione a sx, $\forall a \in G$ l'applicazione $\theta_a: G \rightarrow G$, definita da $x mapsto \theta_a(x):=ax$, è iniettiva e quindi ($G$ finito) suriettiva; ma allora $\theta_a \in Sym(G)$. Ora, per l'associatività in $G$, l'applicazione $\theta: G \rightarrow Sym(G)$, definita da $a \mapsto \theta_a$, soddisfa la proprietà $\theta_{ab}=\theta_a\theta_b, \forall a,b \in G$, da cui ${\theta_a, a \in G}<=Sym(G)$. Ne viene che $\exists \tilde{e} \in G$ tale che $\theta_{\tilde e}=\iota_G$, da cui $\tilde ex=\theta_{\tilde e}(x)=\iota_G(x)=x, \forall x \in G$, e $\tilde e$ è unità sx. Idem per unità dx, $\hat e$, a partire dalla legge di cancellazione a dx e da $\psi_a(x):=xa$. Ora, $\forall x \in G$, $\tilde ex=x=x\hat e \Rightarrow \tilde e\hat e=\hat e\hat e \Rightarrow e:=\tilde e=\hat e$. Poi, $a \in G \Rightarrow \theta_a \in Sym(G) \Rightarrow \exists(!)\tilde b \in G$ tale che $e=\theta_a(\tilde b)=a\tilde b$, e $\tilde b$ è inverso dx di $a$; analogamente, $a \in G \Rightarrow \psi_a \in Sym(G) \Rightarrow \exists(!)\hat b \in G$ tale che $e=\psi_a(\hat b)=\hat ba$, e $\hat b$ è inverso sx di $a$. Ma deve essere $\tilde ba=a\tilde b$; infatti, $ \tilde ba \ne a\tilde b \Rightarrow \tilde ba \ne e \Rightarrow$ $(a\tilde b)a=ea=a \ne ae=a$: contraddizione. Quindi $e=\tilde ba=\hat ba \Rightarrow a^{-1}:=\tilde b=\hat b$.
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