Permutazioni cicliche di lunghezza fissata
da un quesito di calcolo combinatorio, mi è venuta in mente un'altra cosa riguardante le permutazioni.
penso che sia collegata con i gruppi simmetrici $S_k$ e con i cicli di lunghezza k.
se ho una permutazione ciclica di lunghezza k, con k numero primo, ad esempio $alpha=((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), (2, 3, 4, 5, 6, 7, 1))$, allora $alpha^7="identita'"$, mentre le altre permutazioni $alpha^h$, con $1<=h
se $gamma=(123456)$ allora $gamma^2=(135)(246)$, $gamma^3=(14)(25)(36)$.
mi scuso se la terminologia non è molto appropriata.
è possibile dire che, data una permutazione ciclica di ordine k, questa individua tante permutazioni cicliche di lunghezza k quanti sono i numeri naturali minori di k e relativamente primi con k? c'è qualche metodo per contare i cicli di lunghezza fissata?
grazie per l'attenzione.
ciao.
penso che sia collegata con i gruppi simmetrici $S_k$ e con i cicli di lunghezza k.
se ho una permutazione ciclica di lunghezza k, con k numero primo, ad esempio $alpha=((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), (2, 3, 4, 5, 6, 7, 1))$, allora $alpha^7="identita'"$, mentre le altre permutazioni $alpha^h$, con $1<=h
se $gamma=(123456)$ allora $gamma^2=(135)(246)$, $gamma^3=(14)(25)(36)$.
mi scuso se la terminologia non è molto appropriata.
è possibile dire che, data una permutazione ciclica di ordine k, questa individua tante permutazioni cicliche di lunghezza k quanti sono i numeri naturali minori di k e relativamente primi con k? c'è qualche metodo per contare i cicli di lunghezza fissata?
grazie per l'attenzione.
ciao.
Risposte
Confermo quanto hai detto.
I cicli di lunghezza $n$ che coinvolgono $n$ dati simboli sono $(n-1)!$ (fissi il primo simbolo e fai variare gli altri). Siccome come hai osservato il gruppo ciclico generato da un $n$-ciclo contiene $varphi(n)$ $n$-cicli, il numero di sottogruppi ciclici di ordine $n$ in $S_n$ è $((n-1)!)/(varphi(n))$.
I cicli di lunghezza $n$ che coinvolgono $n$ dati simboli sono $(n-1)!$ (fissi il primo simbolo e fai variare gli altri). Siccome come hai osservato il gruppo ciclico generato da un $n$-ciclo contiene $varphi(n)$ $n$-cicli, il numero di sottogruppi ciclici di ordine $n$ in $S_n$ è $((n-1)!)/(varphi(n))$.
grazie, Martino.
a quanto pare, ti sei dato all'Archeologia!
a quanto pare, ti sei dato all'Archeologia!
No dai, in fondo questo è solo di qualche mese fa 
salve, io sono un assoluto profano dell'argomento (faccio ancora la 4a liceo) e avevo letto una lezione di un certo albero marini http://www.mi.imati.cnr.it/~alberto/mnD25gPRM.pdf che parla di "permutazioni cicliche", nel link è la pagina 3 del formato pdf...
posto che la definizione che da di permutazione ciclica non mi è chiarissima, in seguito chiede di verificare che tra le 24 le permutazioni di
(1,2,3,4) ce ne sono 3 che non sono cicliche, mentre tutte le altre sono cicli di lughezza 1,2,3 o 4...se mi riusciste a spiegare in parole povere quella paginetta mi fareste davvero un grande favore!
posto che la definizione che da di permutazione ciclica non mi è chiarissima, in seguito chiede di verificare che tra le 24 le permutazioni di
(1,2,3,4) ce ne sono 3 che non sono cicliche, mentre tutte le altre sono cicli di lughezza 1,2,3 o 4...se mi riusciste a spiegare in parole povere quella paginetta mi fareste davvero un grande favore!
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