Permutazioni

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dariuz89
dariuz89
22 giu 2011, 17:08
Cambiamo zona: passiamo al gruppo simmetrico.

Data la permutazione [tex]\sigma=(1\ 2\ 3\ 4)(5\ 6\ 7)(8\ 9\ 10)\in S_{15}[/tex]
a) Calcolare l'ordine del centralizzante di [tex]\sigma[/tex];
b) Data [tex]\tau=(8\ 11\ 12\ 13)(4\ 7\ 9)(1\ 2\ 10)[/tex] trovare [tex]\gamma[/tex] tale che [tex]\gamma\sigma\gamma^{-1}=\tau[/tex].
c) Dato il sottogruppo di [tex]S_{15}[/tex] [tex]G=<\gamma\sigma\gamma^{-1}, \gamma\in S_{15}>[/tex], dimostrare che [tex]A_{15}
Per il punto a) ho trovato che il centralizzante ha ordine 4320. Confermate?
Al punto b), arrivano i dolori: con la forza bruta mi rifiuto, cercando tra le permutazioni fuori dal centralizzante (quindi diverse dalle potenze dei singoli cicli di [tex]\sigma[/tex] mi sembra ardua, visto che ci sono 15!-4320 elementi, dunque? Ho provato a farmi venire idee dall'uguaglianza [tex]\gamma\sigma=\tau\gamma[/tex], ma niente.. Suggerimenti?
Per il punto c), direi che una volta dimostrato che [tex]A_{15}[/tex] è sottogruppo di [tex]G[/tex], visto che [tex]A_{15}[/tex] ha indice 2 in [tex]S_{15}[/tex] la conclusione dovrebbe essere ovvia...

A proposito di dire se $A_{15}
Risposte
rouges1
rouges1
22 giu 2011, 15:44
a)
Devi sapere due cose :
1) [tex]|C_{G}(x)|=\frac{|G|}{|cl(x)|}[/tex];
2) due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica.

Detto ciò in questo caso per trovare [tex]|cl(\sigma)|[/tex] devi trovare quante sono gli elementi di [tex]S_{15}[/tex] fatti come [tex]\sigma[/tex] ovvero 4ciclo-3ciclo-3ciclo. Se non sbaglio dovrebbe essere quindi [tex]|cl(\sigma)|=\[\left( \begin{gathered}
15 \hfill \\
4 \hfill \\
\end{gathered} \right)\] \cdot 3! \cdot \[\left( \begin{gathered}
11 \hfill \\
3 \hfill \\
\end{gathered} \right)\] \cdot 2! \cdot \[\left( \begin{gathered}
8 \hfill \\
3 \hfill \\
\end{gathered} \right)\] \cdot 2! \cdot \frac{1}{2!}[/tex] e quindi [tex]|C_{S_{15}}|=\frac{|S_{15}|}{|cl(\sigma)|}=\frac{15!}{\frac{15!}{5!\cdot 4! \cdot 3}}=5!\cdot 4!\cdot 3=2^6\cdot3^3\cdot5[/tex]
Quindi il centralizzatore ha ordine 8640, mi sa che ti sei dimenticato di dividere per 2! (in pratica hai contato troppe volte i tre cicli)

b)
Per il secondo punto devi sapere che il coniugato di un ciclo [tex]c[/tex] mediante una permutazione [tex]s[/tex] è il ciclo nella cui scrittura compaiono ordinatamente le immagini secondo [tex]s[/tex] degli elementi di [tex]c[/tex].

Quindi per il secondo punto basta che scrivi le due permutazioni l'una sopra l'altra e il gioco è fatto. Ti faccio vedere:

Scrivendo [tex]\[\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&{10}&{11}&{12}&{13}&{14}&{15} \\
8&{11}&{12}&{13}&4&7&9&1&2&{10}&?&?&?&?&?
\end{array}\][/tex]

trovi facilmente la richiesta [tex]\tau[/tex] che risulta sicuramente essere della forma [tex]\[\left( {1,8} \right)\left( {3,12,?} \right)\left( {5,4,13,?} \right)\left( {6,7,9,2,11,?} \right)\][/tex]. Si possono allora chiudere i cicli "aperti" cioè quelli con il punto interrogativo mandando 12 in 3, 11 in 6 e 13 in 5.

La tabella precedente completata è allora [tex]\[\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&{10}&{11}&{12}&{13}&{14}&{15} \\
8&{11}&{12}&{13}&4&7&9&1&2&{10}&6&3&5&{14}&{15}
\end{array}\][/tex]

e [tex]\tau=\[\left( {1,8} \right)\left( {3,12} \right)\left( {5,4,13} \right)\left( {6,7,9,2,11} \right)\][/tex]

c)
non mi viene così subito ad occhi in mente come farlo
dariuz89
dariuz89
22 giu 2011, 15:48
a) Non mi è chiarissimo il discorso di contare troppe volte i 2-cicli... Puoi specificare?
b) Grazie mille, questo è davvero chiaro :)
c) Don't worry, ci sto provando!
rouges1
rouges1
22 giu 2011, 16:03
Intanto scusa volevo dire i tre cicli (anche perchè di due cicli non ce ne sono....).
Gli conti troppe volte perchè:
quando fai [tex]\[\left( \begin{gathered}
11 \hfill \\
3 \hfill \\
\end{gathered} \right)\][/tex] hai scelto un sottoinsieme di 3 elementi su 11 diciamo [tex]\{a,b,c\}[/tex] poi scegli con [tex]\[\left( \begin{gathered}
8 \hfill \\
3 \hfill \\
\end{gathered} \right)\][/tex] un'altro sottoinsieme di 3 elementi stavolta su 8 diciamo [tex]\{d,e,f\}[/tex] ma questo doppio 3-ciclo è uguale identico a quello che ti esce se il primo sottoinsieme che ti viene è [tex]\{d,e,f\}[/tex] ed il secondo è [tex]\{a,b,c\}[/tex].
Mi rendo conto che non te l'ho spiegato troppo bene comunque spero tu abbia capito... il succo è che [tex](a,b,c)(d,e,f) = (d,e,f)(a,b,c)[/tex]
dariuz89
dariuz89
22 giu 2011, 16:16
No, invece ho capito! Comunque anche per me i 3-cicli erano diventati 2-cicli, ma l'importante è capirsi :)
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