Permutazioni

[zipangulu]

Ho il seguente esercizio:
Considerate le permutazioni $tau,sigma in S_7$
$tau=(13)(467)$
$sigma=(257)(46)$
determinare $ nn $.Mostrare inoltre che le due permutazioni sono coniugate.


Io ho ragionato così:
riscrivo $tau$ e $sigma$ come prodotto di trasposizioni,nel seguente modo:
$tau=(13)(47)(46)$
$sigma=(27)(25)(46)$
dunque
$ nn "="<(46)>$
Affinchè due permutazioni siano coniugate è necessario che abbiano la medesima struttura ciclica.
Ma già guardando la composizione di $tau,sigma$ dalla traccia noto che esse sono composte entrambe da un $3-ciclo$ e un $2-ciclo$(trasposizione),quindi direi che hanno la stessa struttura ciclica,concludo affermando che le due permutazioni sono coniugate.

E' corretto?Se no cosa ho sbagliato?

[cirasa]

[mod="cirasa"]E' la terza volta che sposto un tuo messaggio dopo questo e questo.
Per cortesia, fai attenzione alla sezione in cui posti. E' l'ultimo avviso.

Sposto in algebra.

E modifica il titolo per favore, non vedo cosa c'entrino gli spazi vettoriali.[/mod]

[ankia_89]

la scomposizione in trasposizioni è sbagliata. in tau il 4 va sia nel 7 che nel 6 il in sigma il 2 va nel 7 e nel 5
l'altro ragionamento è corretto

[zipangulu]

in tau il 4 va sia nel 7 che nel 6 in sigma il 2 va nel 7 e nel 5

eh appunto,e dunque perchè come l'ho scritta io sarebbe sbagliata?come andrebbe scritta allora?

[ankia_89]

innanzi tutto chiedo scusa per i tre messaggi ma ero al computer della biblioteca e la rete non è ottima lì.

tau si scrive così (13)(46)(47)
devi mantenere l'ordine

[vict85]

"ankia_89":innanzi tutto chiedo scusa per i tre messaggi ma ero al computer della biblioteca e la rete non è ottima lì.

tau si scrive così (13)(46)(47)
devi mantenere l'ordine

Dipende: se leggi le permutazioni da sinistra a destra o da destra a sinistra. Se usi la notazione come funzioni cioè da destra a sinistra come è comune nei corsi base allora l'ordine viene invertito. Altrimenti non funziona... Infatti viene fuori la permutazione [tex](13)(476)[/tex] come puoi notare da un veloce calcolo inverso. Comunque come ho detto dipende dalla notazione usata.

Farei notare che

[tex]\tau^2 = (476)[/tex]
[tex]\tau^3 = (13)[/tex]
[tex]\tau^4 = (467)[/tex]
[tex]\tau^5 = (13)(476)[/tex]

Quindi la permutazione [tex](46)[/tex] non appartiene a [tex]\langle\tau\rangle[/tex] e quindi neanche alla sua intersezione con [tex]\langle\sigma\rangle[/tex]. L'esercizio è quindi sbagliato e senza ragione è inoltre quella di trasformare in prodotti di trasposizioni. Cosa che comunque è inutile nella maggior parte dei casi.

Se io calcolo la stessa cosa per [tex]\sigma[/tex] ricavo

[tex]\sigma^2 = (275)[/tex]
[tex]\sigma^3 = (46)[/tex]
[tex]\sigma^4 = (257)[/tex]
[tex]\sigma^5 = (46)(275)[/tex]

Quindi direi che [tex]\langle\tau\rangle \cap \langle\sigma\rangle = \{e\}[/tex]

La cosa poteva anche essere notata facilmente dal fatto che i 3-cicli e i 2-cicli non contenevano gli stessi elementi.

Riguardo invece al far vedere che sono coniugati forse il professore voleva conoscere la permutazione attraverso cui [tex]\alpha\tau\alpha^{-1} = \sigma[/tex].

Quest'ultima la calcoli attraverso la tabella. La permutazione deve mandare [tex]13[/tex] in [tex]46[/tex], deve mandare inoltre [tex]467[/tex] in [tex]257[/tex].
Quindi un ipotesi è che mandi [tex]1\mapsto 4, 3 \mapsto 6, 4\mapsto 2, 6\mapsto 5, 7\mapsto 7[/tex] e con gli altri elementi è ininfluente. I cicli che si stanno formando sono quindi[tex](142...)(365...)[/tex] possiamo quindi supporre che [tex]\alpha = (142365)[/tex].
Infatti [tex]\alpha\tau\alpha^{-1} = (142365)(13)(467)(156324) = (1)(257)(3)(46) = (257)(46) = \sigma[/tex].

Questo comunque è il principio generale.

[ferrets]

"vict85":
Riguardo invece al far vedere che sono coniugati forse il professore voleva conoscere la permutazione attraverso cui [tex]\alpha\tau\alpha^{-1} = \sigma[/tex].



Quest'ultima la calcoli attraverso la tabella. La permutazione deve mandare [tex]13[/tex] in [tex]46[/tex], deve mandare inoltre [tex]467[/tex] in [tex]257[/tex].

Quindi un ipotesi è che mandi [tex]1\mapsto 4, 3 \mapsto 6, 4\mapsto 2, 6\mapsto 5, 7\mapsto 7[/tex] e con gli altri elementi è ininfluente. I cicli che si stanno formando sono quindi[tex](142...)(365...)[/tex] possiamo quindi supporre che [tex]\alpha = (142365)[/tex].

Infatti [tex]\alpha\tau\alpha^{-1} = (142365)(13)(467)(156324) = (1)(257)(3)(46) = (257)(46) = \sigma[/tex].


Questo comunque è il principio generale.

Ho provato a rifare l'esercizio, seguendo le linee guida che hai dato, per cercare la permutazione $\alpha$ tale che $\alpha*\tau*\alpha^-1=\sigma$

Ho scritto $\alpha*(13)(467)*\alpha^-1=(257)(46)$, quindi seguendo quello che hai detto (anche se non ho ben chiaro in testa il perchè..) ho detto che
$\alpha$ manda $(13)$ in $(46)$ e $(467)$ in $(257)$
Quindi posso supporrre che
$\alpha(1)\to4$
$\alpha(3)\to6$
$\alpha(4)\to2$
$\alpha(6)\to5$
$\alpha(7)\to7$

E mi sono ferrmato qua, perchè ho visto che $\alpha$ era definita dai cicli $(142)$ e $(365)$, infatti facendo il calcolo
$(142)(365)*(13)(467)*(142)(365)=(257)(46)$

Alchè mi chiedo, ho sbagliato qualcosa nei conti? O nel ragionamento c'è qualcosa che non va?
Oppure è possibile che esistano per esempio due permutazioni diverse, $\alpha_1=(142365)$ (quella che avevi trovato tu) e $\alpha_2=(142)(365)$ (quella che ho trovato io) tali che: $\alpha_1*\tau*alpha_1^-1=\alpha_2*\tau*\alpha_2^-1=\sigma$ ?

Grazie in anticipo

Edit:

"ferrets": E mi sono ferrmato qua, perchè ho visto che $\alpha$ era definita dai cicli $(142)$ e $(365)$, infatti facendo il calcolo
$(142)(365)*(13)(467)*(142)(365)=(257)(46)$

Cioè, più che accorgermi che era definita da quei cicli, diciamo che cel'ho costruita io così... Forse è per questo che ho dei dubbi, è come se fossi andato per tentativi, ne ho costruita una e ho provato se funzionava.. Il che mi rende perplesso, si va per tentativi?
Diciamo che il procedimento mi è chiaro, ma è il PERCHÉ che non ho afferrato...

[vict85]

La permutazione non è unica, ce ne sono varie. L'immagine di \(2\) e l'immagine di \(5\) non sono impostate anche se non puoi scegliere di mandarli in elementi che sono già immagine di altri elementi. Quindi nel caso specifico \(2, 4, 5, 6\) e \(7\) non sono elementi che possono essere immagine di \(2\) o \(5\). Quindi le uniche due opzioni sono \(2\mapsto 1\) e \(2 \mapsto 3\) (l'immagine di \(5\) viene scelta di conseguenza)

Oltre a quelle due permutazioni devi però tenere anche conto che:
\[(123) = (231) = (312)\]
e che similmente
\[(12) = (21)\]
Quindi nello stesso modo in cui puoi supporre che
\[1\mapsto 4,\ 3\mapsto 6,\ 4\mapsto 2,\ 6\mapsto 5,\ 7\mapsto 7\]
sono ugualmente ammissibili anche le opzioni:
\[1\mapsto 6,\ 3\mapsto 4,\ 4\mapsto 2,\ 6\mapsto 5,\ 7\mapsto 7\]
\[1\mapsto 4,\ 3\mapsto 6,\ 4\mapsto 5,\ 6\mapsto 7,\ 7\mapsto 2\]
\[1\mapsto 6,\ 3\mapsto 4,\ 4\mapsto 5,\ 6\mapsto 7,\ 7\mapsto 2\]
\[1\mapsto 4,\ 3\mapsto 6,\ 4\mapsto 7,\ 6\mapsto 2,\ 7\mapsto 5\]
\[1\mapsto 6,\ 3\mapsto 4,\ 4\mapsto 7,\ 6\mapsto 2,\ 7\mapsto 5\]

Quindi potevi anche usare le permutazioni:
\[(165)(342)(7),\ (165342)(7),\ (145)(3672),\ (1453672),\ (1672)(345),\ (1672345),\ (1475)(362),\ (1475362),\ (162)(3475),\ (1623475)\]

Nota che per ogni gruppo di condizioni ci sono due permutazioni ammissibili definite dalla controimmagine di \(1\) e \(3\).

P.S: spero di non aver fatto errori nei calcoli ma il principio è questo.
P.S2: Ho messo \((7)\) ad indicare che \(7\) era mandato in se stesso.

EDIT: Il perché lo comprendi leggendo e capendo la dimostrazione. Non è difficile trovarla su internet e nei libri di testo.