Permutazioni
Si consideri il gruppo $S8$ delle permutazioni sugli elementi $1, 2, ... ,8$.
a) Scrivere la permutazione $a =(1 4 6 8 5)(2 6 4 3 7 )(1 7 4 6 2)(3 5 4 7)$ come prodotto di cicli disgiunti
Siccome le dispense della mia prof non sono molto chiare (e la mia prof è anziana e malata infatti va in pensione quest'anno ma io me la becco) sto cercando di capire a suon di esercizi...qualcuno potrebbe illuminarmi su come si fa?
Grazie!
a) Scrivere la permutazione $a =(1 4 6 8 5)(2 6 4 3 7 )(1 7 4 6 2)(3 5 4 7)$ come prodotto di cicli disgiunti
Siccome le dispense della mia prof non sono molto chiare (e la mia prof è anziana e malata infatti va in pensione quest'anno ma io me la becco) sto cercando di capire a suon di esercizi...qualcuno potrebbe illuminarmi su come si fa?
Grazie!
Risposte
Io direi che puoi scriverti esplicitamente la permutazione (che chiamo $\sigma$) con la notazione
$((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3),\sigma(4),\sigma(5),\sigma(6),\sigma(7),\sigma(8)))$.
Per fare ciò devi prendere i numeri da 1 a 8 e vedere dove vanno a finire: tipo prendi l'1. Il ciclo a destra lo lascia fermo, il secondo lo manda in 7, il terzo manda il 7 in 2 e l'ultimo lascia fermo il 2. Quindi sotto all'1 scriverai 2. Quando hai la permutazione scritta in questa forma è facile trovare i cicli, e ti basta moltiplicarli (Nell'ordine che vuoi, tanto i cicli disgiunti commutano).
$((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3),\sigma(4),\sigma(5),\sigma(6),\sigma(7),\sigma(8)))$.
Per fare ciò devi prendere i numeri da 1 a 8 e vedere dove vanno a finire: tipo prendi l'1. Il ciclo a destra lo lascia fermo, il secondo lo manda in 7, il terzo manda il 7 in 2 e l'ultimo lascia fermo il 2. Quindi sotto all'1 scriverai 2. Quando hai la permutazione scritta in questa forma è facile trovare i cicli, e ti basta moltiplicarli (Nell'ordine che vuoi, tanto i cicli disgiunti commutano).
la permutazione semplice l'ho capita...nel senso quando ho 1 permutazione ho capito come funziona il "cambio di posto"....ma quando ho un prodotto di permutazione come si fa?? Qualcuno mi spiega il procedimento per favore???
Grazie...
$((1 2 3 4 5 6),(3 6 2 1 4 5))$ $((1 2 3 4 5 6),(2 3 4 6 1 5))$ $=$ $((1 2 3 4 5 6),(6 2 1 5 3 4))$
Grazie...
$((1 2 3 4 5 6),(3 6 2 1 4 5))$ $((1 2 3 4 5 6),(2 3 4 6 1 5))$ $=$ $((1 2 3 4 5 6),(6 2 1 5 3 4))$
Il prodotto è la composizione: applichi prima la permutazione a destra e poi quella a sinistra.
Nel tuo esempio devi vedere dove va a finire ogni numero da 1 a 6 dopo avergli applicato prima quella a destra e poi quella a sinistra. Tipo [tex]1\mapsto2\mapsto 6[/tex] e allora nella permutazione prodotto a 1 corrisponde 6.
Nel tuo esempio devi vedere dove va a finire ogni numero da 1 a 6 dopo avergli applicato prima quella a destra e poi quella a sinistra. Tipo [tex]1\mapsto2\mapsto 6[/tex] e allora nella permutazione prodotto a 1 corrisponde 6.
ma come ci si muove nella permutazione?
cioè $1 -> 2 -> 6$ perchè nella permutazione B (chiamiamole A,B,C) $1 -> 2$ e nella permutazione A $2 -> 6$
Ma poi col 4 cosa succede??
Perchè nella permutazione B il $4 -> 5$ e nella A il $5 -> 4$ quindi nel prodotto (perm C) il $4 -> 4$ invece va in 5...perchè?
cioè $1 -> 2 -> 6$ perchè nella permutazione B (chiamiamole A,B,C) $1 -> 2$ e nella permutazione A $2 -> 6$
Ma poi col 4 cosa succede??
Perchè nella permutazione B il $4 -> 5$ e nella A il $5 -> 4$ quindi nel prodotto (perm C) il $4 -> 4$ invece va in 5...perchè?
No nella permutazione B, [tex]4 \mapsto 6[/tex], quindi [tex]C:4\mapsto 6 \mapsto 5[/tex]...
ah che scemo xD
grazie mille
grazie mille
Prego!
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