Permutazione in cicli non disgiunti ed elevazione a potenza

[ferrets]

Salve, vorrei delle delucidazione sul seguente esercizio

Considerata la permutazione

$\sigma=(156)(24)(16)\inS_6$,[/list:u:1iqpx7lu]
calcolare $\sigma^8$ e $\sigma^-1$. Dire se $\sigma$ è coniugata a $\tau=(123)$[/list:u:1iqpx7lu]

Ho notato che $\sigma$ non è espressa in cicli disgiunti, e la prima cosa che sono andato a fare è stato proprio di provare ad esprimerla in cicli disgiunti ed ho ottenuto (l'ordine è da sinistra a destra, come composizione di applicazioni):
1$\to$6$\to$6$\to$1
2$\to$2$\to$4$\to$4
3$\to$3$\to$3$\to$3
4$\to$4$\to$2$\to$2
5$\to$5$\to$5$\to$6
6$\to$1$\to$1$\to$5

E quindi $\sigma=(24)(56)$

Ora però andando a calcolare $\sigma^8$ mi è venuto un dubbio atroce..

Considerando $\sigma=(23)(56)$, è ovvio che $\sigma^8=id$
Ma considerando $\sigma=(156)(24)(16)$ viene che $\sigma^8=(165)$ poichè i 2-cicli si annullano ma il 3-ciclo no...

C'è sicuramente un errore nel ragionamento che ho applicato, e vorrei capire qual'è.
Forse che non si può applicare il secondo ragionamento che ho fatto se i cicli non sono disgiunti? E quindi non posso dire che $\((156)(24)(16))^8=(165)$?



Per quanto riguarda il secondo punto, invece, sappiamo che $\sigma$ è coniugata a $\tau=(123)$ se e solo se:

$EE$ $alpha$ tale che $alpha*(123)*\alpha^-1=\sigma$[/list:u:1iqpx7lu]
e che un lemma afferma che

$alpha*(123)*\alpha^-1=(\alpha(1)\alpha(2)\alpha(3))$[/list:u:1iqpx7lu]
da cui si deduce che le due permutazioni sono coniugate se e solo hanno la stessa struttura ciclica, ed essendo questo falso nel nostro caso, poichè $\sigma=(24)(56)$ è composta da due $2-ciclo$ e $\tau=(123)$ da un $3-ciclo$, si arriva a dire che esse non sono coniugate.


Edit: la seconda parte ovviamente non riguarda quanto scritto nel titolo, poichè si parla di del coniugio e della struttura ciclica, ma nel titolo non ci entrava..
È giusto il ragionamento?

[j18eos]

"ferrets":...Forse che non si può applicare il secondo ragionamento che ho fatto se i cicli non sono disgiunti?...

Sì, sicuramente questo l'errore; si dimostra che delle permutazioni commutano se e solo se hanno supporti disgiunti!

Sulla seconda parte hai ragionato bene.

OUT OF SELF Non è che devi specificare tutti i dubbi nel titolo, basta che il titolo sia appropriato!

[ferrets]

Mi stai facendo praticamente da Tutor...ti ringrazio enormemente!

Solo una cosa mi sfugge (un'altra!) e cioè quando dici

"j18eos":si dimostra che delle permutazioni commutano se e solo se hanno supporti disgiunti!

In che senso commutano?

[Paolo902]

"ferrets": In che senso commutano?

Nel senso di funzioni (biiettive). $sigma circ tau = tau circ sigma$.

[j18eos]

Trovo stupido scrivere:

delle permutazioni permutano e.o.

per cui ho preferito il verbo commutare al verbo permutare.

Tutor io? Solo a pagamento!
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