Permutazione
Salve ragazzi, questo è un problema tipo che il prof mette sempre nei compiti, però non ci ha mai fatto vedere come eseguirlo, potreste darmi qualche dritta?
"Data la permutazione $\sigma$=$((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),(10,14,7,2,6,9,13,12,8,3,1,4,11,5))$ $in$ S[size=50]14[/size]
sia H:=<$σ^1246$>
1) Determinare |H|
2) Determinare tutte le permutazioni T$in$H tali che T(1)=1"
Oppure
"Data la permutazione $\sigma$=$((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),(3,4,5,8,7,10,9,6,1,2,13,11,14,12))$ $in$ S[size=50]14[/size]
1) determinare gli elementi di <$\alpha$> di periodo 5;
2) determinare il periodo di $α^3^55$
3) esiste un i$in$N tale che $α^i^55$ abbia periodo 3?
"Data la permutazione $\sigma$=$((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),(10,14,7,2,6,9,13,12,8,3,1,4,11,5))$ $in$ S[size=50]14[/size]
sia H:=<$σ^1246$>
1) Determinare |H|
2) Determinare tutte le permutazioni T$in$H tali che T(1)=1"
Oppure
"Data la permutazione $\sigma$=$((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),(3,4,5,8,7,10,9,6,1,2,13,11,14,12))$ $in$ S[size=50]14[/size]
1) determinare gli elementi di <$\alpha$> di periodo 5;
2) determinare il periodo di $α^3^55$
3) esiste un i$in$N tale che $α^i^55$ abbia periodo 3?
Risposte
Qualche idea? Considerazione? Che ordine hanno quelle due permutazioni? Li sai scrivere come prodotto di cicli?
Allora prendiamo in considerazione il :
-1° esercizio: abbiamo che $\sigma$=$(1-10-3-7-13-11)(2-14-5-6-9-8-12-4)$
Il periodo è mcm(6,8) = 24
-2° esercizio, abbiamo che $\sigma$=$(1 -3- 5- 7- 9)(2- 4- 8- 6- 10)(11- 13- 14 -12)$
Il periodo di $\sigma$ è dunque mcm(5,4)=20
Ora qualche dritta?
-1° esercizio: abbiamo che $\sigma$=$(1-10-3-7-13-11)(2-14-5-6-9-8-12-4)$
Il periodo è mcm(6,8) = 24
-2° esercizio, abbiamo che $\sigma$=$(1 -3- 5- 7- 9)(2- 4- 8- 6- 10)(11- 13- 14 -12)$
Il periodo di $\sigma$ è dunque mcm(5,4)=20
Ora qualche dritta?
I gruppi ciclici sono tutti isomorfi, come ti comporteresti se ti trovassi in \(\mathbb{Z}_{24}\)?
in $ZZ_24$ <$σ^1246$> = <$σ^22$>
non sto capendo bene forse
non sto capendo bene forse
"Giupo":
in $ZZ_24$ <$σ^1246$> = <$σ^22$>
non sto capendo bene forse
Ed è così anche qui. Puoi trovare facilmente il primo punto ora (cicli disgiunti commutano quindi è un po' come avere l'elemento \((1,1)\) di \(\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_8\)).
Per il secondo punto devi vedere quando si annulla il primo ciclo.
Quindi |H| non sarà altro che il periodo di $σ^22$ ,
$σ^22$ = $(1-13-3)(10 - 11 -7 )(2-12-9-5)(14 - 4 - 8 - 6)$
Il periodo di $σ^22$ è mcm(3,4) = 12
Equivalentemente avremmo potuto fare sin dall'inizio °$g^k$=$°g/[MCD(k,°(g))]$, infatti $24/[MCD(1246,24)]$ = $24/2 = 12$
Ti ringrazio mi stai facendo capire tante cose
Non ho capito bene come arrivare a TUTTE le permutazioni T∈H tali che T(1)=1
$σ^22$ = $(1-13-3)(10 - 11 -7 )(2-12-9-5)(14 - 4 - 8 - 6)$
Il periodo di $σ^22$ è mcm(3,4) = 12
Equivalentemente avremmo potuto fare sin dall'inizio °$g^k$=$°g/[MCD(k,°(g))]$, infatti $24/[MCD(1246,24)]$ = $24/2 = 12$
Ti ringrazio mi stai facendo capire tante cose
Non ho capito bene come arrivare a TUTTE le permutazioni T∈H tali che T(1)=1
non ci crederai ma ho le tue stesse tracce (informatica bari)... sono anche io bloccato al punto b 
Non ci crederai ma anche io il 3 ho l'esame a bari ahahah
"Giupo":
Non ci crederai ma anche io il 3 ho l'esame a bari ahahah
ma daaaaaaaaaaaai! il buon nardozza!
cmq dai non spammiamo...ti ho scritto un msg personale
"vict85":
Per il secondo punto devi vedere quando si annulla il primo ciclo.
basterebbe elevare H alla terza?
Si.
Tieni conto che se un elemento fissa 1 allora lo fa anche ogni un suo multiplo. Inoltre se due elementi lo fissano allora si può usare Bezout per mostrare che sono multipli di un terzo elemento.
Tieni conto che se un elemento fissa 1 allora lo fa anche ogni un suo multiplo. Inoltre se due elementi lo fissano allora si può usare Bezout per mostrare che sono multipli di un terzo elemento.
perfetto...dato che dice TUTTE le permutazioni, queste sarebbero tutti i multipli di 3 minori di 12 oppure sono tutti i multipli di 3 in genere (3h con $h in NN$)?
I multipli modulo 12.
ma così non annulliamo anche i 4-cicli?
Allora, se \(\sigma =\sigma_1\dotsb\sigma_k\) con \(\sigma_i\) cicli disgiunti e se \(\sigma_1(1)\neq 1\) allora
- [*:mhsa2tvo]\(\sigma_i(1)= 1\) per \(\displaystyle i\neq 1 \);[/*:m:mhsa2tvo]
[*:mhsa2tvo]se \(\displaystyle \sigma_1^{q} = e \) allora \(\displaystyle \sigma^{q}(1) = 1 \);[/*:m:mhsa2tvo]
[*:mhsa2tvo]se \(\displaystyle \sigma_1^{q} \neq e \) allora \(\displaystyle \sigma^{q}(1) \neq 1 \);[/*:m:mhsa2tvo][/list:u:mhsa2tvo]
Nel tuo caso specifico si ha che \(\displaystyle \tau = \sigma^{22} \), \(\tau_1 = (1,\;13,\;3)\) e \(o(\tau_1) = 3\). Perciò la soluzione è \(\displaystyle \langle \tau^3 \rangle = \langle \sigma^{66} \rangle = \langle \sigma^{18} \rangle < H \)
scusami ma continuo a non capire... qual'è il collegamento con i multipli modulo 12 di cui parlavi pocanzi? l'ultimo tuo messaggio è stato chiarissimo se non fosse stato per il penultimo...
12 è la cardinalità di H, che è ciclico. Stai quindi cercando un suo sottogruppo ciclico.
Ciao a tutti ragazzi, scusate il disturbo, anche io ho l'esame di Matematica Discreta il 3 e ho risposto alla domanda in questa maniera all'appello di Febbraio :
Innanzitutto |H| = 12 come risposta alla prima domanda, poi come risposta alla seconda ho scritto : "$tau^3, tau^6, tau^9$" visto che il periodo è 12, è corretta oppure no?
Innanzitutto |H| = 12 come risposta alla prima domanda, poi come risposta alla seconda ho scritto : "$tau^3, tau^6, tau^9$" visto che il periodo è 12, è corretta oppure no?
A essere rigorosi hai dimenticato l'identità. Dire che era il sottogruppo generato è comunque più completo.
Riguardo al secondo esercizio si ha che \(\displaystyle \sigma = (1,\,3,\,5,\,7,\,9)(2,\,4,\,8,\,6,\,10)(11,\,13,\,14,\,12) \). Perciò, essendo \(\displaystyle \langle\sigma\rangle \) ciclico, allora è isomorfo a \(\displaystyle \mathbb{Z}_{\alpha} \) per \(\displaystyle \alpha = \mathrm{mcm}(5,4) = 20 \). Il resto dell'esercizio è come se lo faceste in questo gruppo.
riguardo al secondo esercizio io ho risolto in questo modo:
1) elevando a alla quarta ottengo che il 4-ciclo si fissa e quello che rimane penso sia la risposta,
ossia: $a^4 = (1 9 7 5 3)(2 10 6 8 4)$;
2) o(a)= mcm (5,4) = 20
$55 -= 15 mod 20$ quindi cercare gli elementi di $a^3^55$ equivale a cercare quelli di $a^3^15$
$a^3^15 = a^14348907 -= a^7$ per gli stessi motivi
$a^7$ = (1 5 9 3 7)(2 8 10 4 6)(11 12 14 13)
o(a)= mcm (5,4) = 20
3) non è possibile perchè 3 non divide 20 quindi non può esserci un sottogruppo avente periodo 3
sulla 1 non sono tanto sicuro ma sulle altre due direi di sì
1) elevando a alla quarta ottengo che il 4-ciclo si fissa e quello che rimane penso sia la risposta,
ossia: $a^4 = (1 9 7 5 3)(2 10 6 8 4)$;
2) o(a)= mcm (5,4) = 20
$55 -= 15 mod 20$ quindi cercare gli elementi di $a^3^55$ equivale a cercare quelli di $a^3^15$
$a^3^15 = a^14348907 -= a^7$ per gli stessi motivi
$a^7$ = (1 5 9 3 7)(2 8 10 4 6)(11 12 14 13)
o(a)= mcm (5,4) = 20
3) non è possibile perchè 3 non divide 20 quindi non può esserci un sottogruppo avente periodo 3
sulla 1 non sono tanto sicuro ma sulle altre due direi di sì
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