Periodo $S_n$
ciao a tutti ho questo problema:
Siano $u=13245$ e $v=12435$ calcolare il periodo di u o v in $S_5$
ora la definizione del libro è:
Sia G un gruppo e $g in G$ si definisce ordine o periodo di $g$ il più piccolo intero positivo $r$, se esiste, tale che $g^r=1$ se un tale intero non esiste, si dice che $g$ ha periodo infinito.
Allora so che G è il mio gruppo
che l'elemento $g$ della definizione è $u=13245$
ora il mio esponente $r$ deve essere compreso tra $1<=r
mi potreste fare degli esempi per cominciare a capirci qualcosina grazie!
Siano $u=13245$ e $v=12435$ calcolare il periodo di u o v in $S_5$
ora la definizione del libro è:
Sia G un gruppo e $g in G$ si definisce ordine o periodo di $g$ il più piccolo intero positivo $r$, se esiste, tale che $g^r=1$ se un tale intero non esiste, si dice che $g$ ha periodo infinito.
Allora so che G è il mio gruppo
che l'elemento $g$ della definizione è $u=13245$
ora il mio esponente $r$ deve essere compreso tra $1<=r
mi potreste fare degli esempi per cominciare a capirci qualcosina grazie!
Risposte
Sono delle permutazioni, dunque per calcolare il periodo di $u o v$ devi prima trovare il prodotto di u e v e poi scomporlo in cicli disgiunti, il periodo ti sarà dato dal minimo comune multiplo della lunghezza dei cicli.
Nel tuo caso la composta fissa l'elemento 2 e scambia tra loro 1 e 4 ; 3 e 5. Il tuo periodo è dunque 2 (prodotto di due cicli di lunghezza 2; quindi trasposizioni disgiunte)
quindi dato che si tratta di un insieme finito con $n=5$ devo impostare le permutazioni di $u e v$
tramite una matrice $2*n$
quindi:
$u=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))$ e $v=((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))
ora devo fare il prodotto:
$u°v=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))*((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))$
ora il libro mi dice di moltiplicare da destra versto sinistra come l'ordinaria moltiplicazione ma non capisco come spero che fino a qui non ho sbagliato.
tramite una matrice $2*n$
quindi:
$u=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))$ e $v=((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))
ora devo fare il prodotto:
$u°v=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))*((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))$
ora il libro mi dice di moltiplicare da destra versto sinistra come l'ordinaria moltiplicazione ma non capisco come spero che fino a qui non ho sbagliato.
Devi partire dal numero 1 e vedere v dove lo manda, nel tuo caso 1 viene mandato in 2; ma il 2 viene mandato in 4 da u; quindi in definitiva l'1 viene mandato in 4; poi il 2 viene mandato in 3 da v e il 3 in 2 da u, e così via,..., successivamente riscrivi la matrice in cui metti nella prima riga 1 2 3 4 5 e nella seconda le rispettive immagini che hai ottenuto; ora per scomporlo in cicli parti da 1, vedi in cosa si trasforma,nel 4 , poi vedi il 4 in cosa si trasforma nella matrice, in 1, quindi vuol dire che il tuo primo ciclio è (1 4 ).
Se avessi avuto un ciclo più lungo, ti fermavi fino a quando non si ripeteva l'inizio del ciclo; ad esempio se avevi una permutazione che ti porta 2 in 4, 4 in 5 e 5 in 3 e 3 in 2 il tuo ciclo è (2453).
Nota anche che nella scrittura in cicli non vengono considerati quelli di lunghezza 1 (cioè i valori fissi; in effeti la definizione di ciclo viene data se hai almeno una trasposizione, quindi deve essere $k>=2$, dove qui con k ho indicato la lunghezza del ciclo)
Spero di essere stato chiaro.
Se avessi avuto un ciclo più lungo, ti fermavi fino a quando non si ripeteva l'inizio del ciclo; ad esempio se avevi una permutazione che ti porta 2 in 4, 4 in 5 e 5 in 3 e 3 in 2 il tuo ciclo è (2453).
Nota anche che nella scrittura in cicli non vengono considerati quelli di lunghezza 1 (cioè i valori fissi; in effeti la definizione di ciclo viene data se hai almeno una trasposizione, quindi deve essere $k>=2$, dove qui con k ho indicato la lunghezza del ciclo)
Spero di essere stato chiaro.
scusami l'imprecisione ma non capisco quando dici che l'1 viene mandato in 2; ma il 2 viene mandato in 4 da u ecc. non capisco quali sono iconti volgarmente detto. poi con calma facciamo un passo avanti
vediamo se ho capito.
ho $uev$ che sono rispettivamente
$u=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))$ e $v=((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))$
ora il loro prodotto è dato dalle due applicazioni $u°v$; dove prima agisce $v$ e poi $u$. $u(v(x))$ $AA x in [1....n]$
$u°v=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))*((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))=((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))$
ho $uev$ che sono rispettivamente
$u=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))$ e $v=((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))$
ora il loro prodotto è dato dalle due applicazioni $u°v$; dove prima agisce $v$ e poi $u$. $u(v(x))$ $AA x in [1....n]$
$u°v=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))*((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))=((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))$
Scusa mi sono accorto solo ora che hai sbagliato a riportare i cicli sotto forma di matrice.
Prendiamo il tuo ciclo: (13245)
esso agisce così:
$ 1rarr3rarr2rarr4rarr5rarr1 $
Allora la matrice che andrai a scrivere è questa:
$ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ),( 3 , 4 , 2 , 5 , 1 ) ) $
Fai lo stesso per v e poi prosegui come ti ho detto nel post precedente
Prendiamo il tuo ciclo: (13245)
esso agisce così:
$ 1rarr3rarr2rarr4rarr5rarr1 $
Allora la matrice che andrai a scrivere è questa:
$ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ),( 3 , 4 , 2 , 5 , 1 ) ) $
Fai lo stesso per v e poi prosegui come ti ho detto nel post precedente
questo è l'esercizio che ho svolto
Siano $u=13245$ e $v=12435$ calcolare il periodo di $u°v$ in $S_5$
quindi $u°v= ((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))*((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))=((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))$
ora il prodotto delle due permutazioni è $r=((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))$
ora le varie potenze della permutazioni sono:
$r^2=((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))*((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))=((1,2,3,4,5),(1,4,2,3,5))$
$r^3=((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))*((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))*((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))=((1,2,3,4,5),(1,2,3,4,5))
quindi il periodo cercato è 3. è corretto!
Siano $u=13245$ e $v=12435$ calcolare il periodo di $u°v$ in $S_5$
quindi $u°v= ((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))*((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))=((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))$
ora il prodotto delle due permutazioni è $r=((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))$
ora le varie potenze della permutazioni sono:
$r^2=((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))*((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))=((1,2,3,4,5),(1,4,2,3,5))$
$r^3=((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))*((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))*((1,2,3,4,5),(1,3,4,2,5))=((1,2,3,4,5),(1,2,3,4,5))
quindi il periodo cercato è 3. è corretto!
No, non è corretto. Come ti ha già detto biggest, sbagli a scrivere le permutazioni (se usi la notazione più comune scrivendola come ciclo). Rileggi il suo intervento sopra, è spiegato tutto per bene.
gentilmente non capisco come funzionano le assegnazioni dei valori questo sotto è un esempio del libro.
esempio calcoliamo il periodo della permutazione
$r=((1,2,3,4,5,6),(2,3,4,6,5,1))
le varie potenze di r sono:
$r^2=((1,2,3,4,5,6),(3,4,6,1,5,2))!=id$ $r^3=((1,2,3,4,5,6),(4,6,1,2,5,3))!=id$
$r^4=((1,2,3,4,5,6),(6,1,2,3,5,4))!=id$ $r^5=((1,2,3,4,5,6),(1,2,3,4,5,6))=id$
quindi il periodo di r è 5.
datemi una mano a capire......
esempio calcoliamo il periodo della permutazione
$r=((1,2,3,4,5,6),(2,3,4,6,5,1))
le varie potenze di r sono:
$r^2=((1,2,3,4,5,6),(3,4,6,1,5,2))!=id$ $r^3=((1,2,3,4,5,6),(4,6,1,2,5,3))!=id$
$r^4=((1,2,3,4,5,6),(6,1,2,3,5,4))!=id$ $r^5=((1,2,3,4,5,6),(1,2,3,4,5,6))=id$
quindi il periodo di r è 5.
datemi una mano a capire......
Se ho un ciclo diciamo (1 3 5 6), ad esempio, la mia matrice di permutazione sarà formtata da due righe, la prima di almeno 6 colonne (ho detto almeno 6 poichè il ciclo non cambia se fisso i valori maggiori di 7). avente come elementi i primi 6 numeri naturali; poi devo scrivere la seconda: in sostanza nella seconda non faccio altro che scrivere sotto la colonna dove c'è l'1 l'elemento successivo che si trova nel ciclo; sotto l'elemento 3 l'elemento che segue 3 nel ciclo, sotto la colonna 5 l'elemento che lo segue nel ciclo, sotto l'ultimo elemento 6, scrivo il primo elemento del ciclo, cioè 1 (è come un cerchio che si chiude).
Ad esempio nell'esempio che ti ho fatto......
A questo punto puoi fare tutte l'operazione di prodotto tra permutazioni da destra verso sinistra; una volta fatto il prodotto puoi seguire due strade:
1)FORZA BRUTA: E' quella che ha fatto il libro; facendo tutte le potenze della permutazione fino a quando non ottiene la permutazione identica;
2)USARE I CICLI: Devi scrivere la permutazione prodotto di due permutazione come prodotto tra cicli disgiunti come ti ho spiegato nel post precedente; poi fai il minimo comune multiplo tra le lunghezze dei cicli, cioè il minimo comune multiplo tra il numero degli elementi che formano ogni ciclo.
Ad esempio nell'esempio che ti ho fatto......
A questo punto puoi fare tutte l'operazione di prodotto tra permutazioni da destra verso sinistra; una volta fatto il prodotto puoi seguire due strade:
1)FORZA BRUTA: E' quella che ha fatto il libro; facendo tutte le potenze della permutazione fino a quando non ottiene la permutazione identica;
2)USARE I CICLI: Devi scrivere la permutazione prodotto di due permutazione come prodotto tra cicli disgiunti come ti ho spiegato nel post precedente; poi fai il minimo comune multiplo tra le lunghezze dei cicli, cioè il minimo comune multiplo tra il numero degli elementi che formano ogni ciclo.
ora vedo un po sul testo se riesco a capirci qualcosa perchè non ho capito.... magari domani posto quello che ho trovato. grazie mille....... mai passerò l'esame.
niente non sono riuscito ora passo passo se volete.
$u=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))$ mentre $v=((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))$
per calcolare il periodo $u°v$ in $S_5$
quindi
$u°v=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))*((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))$
parto dal numero uno della prima riga della permutazione v giusto e devo vedere dove lo manda...ma se cosi 1->>1 e non in 2 perchè?
$u=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))$ mentre $v=((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))$
per calcolare il periodo $u°v$ in $S_5$
quindi
$u°v=((1,2,3,4,5),(1,3,2,4,5))*((1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5))$
parto dal numero uno della prima riga della permutazione v giusto e devo vedere dove lo manda...ma se cosi 1->>1 e non in 2 perchè?
nessuna anima pia che mi sappia far capire come scrivere i cicli....
Allora funziona così:
un ciclo trasforma ogni suo elemento in quello che lo segue nella scrittura del ciclo gtranne l'ultimo elemento del ciclo che viene trasformato nel primo: esempio se ho il ciclo (1 2 3) l'1 viene traformato in 2 ; il 2 in 3 e il 3 in 1 ; se avessi avuto ad esempio il ciclo (3 1 2); il 3 viene trasformato in 1; l'1 in 2 e il 2 in 3.
Il problema ora è trasformare il ciclo in una matrice che rappresenta la permutazione: la prima riga della matrice è formata dall'insieme numerico 1 2 3 ,....,n.
Adesso devi scrivere la seconda riga.
Allora la scrittura in forma matriciale si deve leggere così: un elemento della prima riga in cosa viene trasformato?;la risposta è che viene trasformato nell' elemento che si trova nella stessa sua colonna, in sostanza sotto di esso. Detto ciò; prendiamo nuovamente il mio primo esempio: (1 2 3) e supponiamo di avere sei elementi.
la prima riga è:
(1 2 3 4 5 6)
adesso sotto il numero 1 devi mettere il numero in cui viene trasformato; quindi da quanto ti ho detto prima devi mettere 2; sotto il 2 il 3 sotto il 3 l'1. Visto che gli elementi che non compaiono nel ciclo sono fissati; sotto il 4 metti il 4; sotto il 5 il 5, sotto il 6 il 6.
dunque las econda riga è:
(231456).
Purtroppo non riesco a spiegartelo in maniera più semplice, sarà sicuramente una mia lacuna.
un ciclo trasforma ogni suo elemento in quello che lo segue nella scrittura del ciclo gtranne l'ultimo elemento del ciclo che viene trasformato nel primo: esempio se ho il ciclo (1 2 3) l'1 viene traformato in 2 ; il 2 in 3 e il 3 in 1 ; se avessi avuto ad esempio il ciclo (3 1 2); il 3 viene trasformato in 1; l'1 in 2 e il 2 in 3.
Il problema ora è trasformare il ciclo in una matrice che rappresenta la permutazione: la prima riga della matrice è formata dall'insieme numerico 1 2 3 ,....,n.
Adesso devi scrivere la seconda riga.
Allora la scrittura in forma matriciale si deve leggere così: un elemento della prima riga in cosa viene trasformato?;la risposta è che viene trasformato nell' elemento che si trova nella stessa sua colonna, in sostanza sotto di esso. Detto ciò; prendiamo nuovamente il mio primo esempio: (1 2 3) e supponiamo di avere sei elementi.
la prima riga è:
(1 2 3 4 5 6)
adesso sotto il numero 1 devi mettere il numero in cui viene trasformato; quindi da quanto ti ho detto prima devi mettere 2; sotto il 2 il 3 sotto il 3 l'1. Visto che gli elementi che non compaiono nel ciclo sono fissati; sotto il 4 metti il 4; sotto il 5 il 5, sotto il 6 il 6.
dunque las econda riga è:
(231456).
Purtroppo non riesco a spiegartelo in maniera più semplice, sarà sicuramente una mia lacuna.
abbi pazienza sto capendo pian piano ora ho trovato un testo e leggendo riesco a capire abbastanza quello che mi vuoi dire......GRAZIE GRAZIE MILLE!!!!
Figurati, non ti preoccupare.
io ho trovato questo materiale:
definizione: Sia $\sigma in S_n$ e sia $k$ un intero tale che $1<=k<=n$ la permutazione è detta ciclo o k-ciclo di lunghezza $k$ se $EE C_1,C_2,C_k in X $a due a due distinti, tali che
$\sigma(C_1)=C_2, \sigma(C_2)=C_3,....,\sigma(C_(k-1))=C_k, \sigma(C_k)=C_1$ e $\sigma(t)=t,AA t in X, t != C_1,C_2,...,C_k$
quindi esempio: in $S_5$
$\sigma=((1,2,3,4,5),(2,3,4,5,1))
quindi partendo dall'1 ho il ciclo
$(1,2,3,4,5)$ ora la lunghezza del ciclo è 5?
esempio 2:
$\sigma=((1,2,3,4),(2,1,4,3))$
qui abbiamo che $\sigma(C_1)=\sigma(1)=C_2$ ma $\sigma(C_2)!=C_3$dato che $\sigma(C_2)=C_1$termina il ciclo quindi 1-ciclo è (1,2)
ora si apre un nuovo ciclo a partire dall'intero $k$ più piccolo rimasto fuori dal ciclo precedente $k=3$
ora $\sigma(C_3)=\sigma(3)=C_4$ ma $\sigma(C_4)!=C_1$ dato che $\sigma(C_4)=C_3$ termina il 2-ciclo $(3,4)$
qui la lunghezza è data da due cicli disgiunti che è uguale a $4$ giusto?
definizione: Sia $\sigma in S_n$ e sia $k$ un intero tale che $1<=k<=n$ la permutazione è detta ciclo o k-ciclo di lunghezza $k$ se $EE C_1,C_2,C_k in X $a due a due distinti, tali che
$\sigma(C_1)=C_2, \sigma(C_2)=C_3,....,\sigma(C_(k-1))=C_k, \sigma(C_k)=C_1$ e $\sigma(t)=t,AA t in X, t != C_1,C_2,...,C_k$
quindi esempio: in $S_5$
$\sigma=((1,2,3,4,5),(2,3,4,5,1))
quindi partendo dall'1 ho il ciclo
$(1,2,3,4,5)$ ora la lunghezza del ciclo è 5?
esempio 2:
$\sigma=((1,2,3,4),(2,1,4,3))$
qui abbiamo che $\sigma(C_1)=\sigma(1)=C_2$ ma $\sigma(C_2)!=C_3$dato che $\sigma(C_2)=C_1$termina il ciclo quindi 1-ciclo è (1,2)
ora si apre un nuovo ciclo a partire dall'intero $k$ più piccolo rimasto fuori dal ciclo precedente $k=3$
ora $\sigma(C_3)=\sigma(3)=C_4$ ma $\sigma(C_4)!=C_1$ dato che $\sigma(C_4)=C_3$ termina il 2-ciclo $(3,4)$
qui la lunghezza è data da due cicli disgiunti che è uguale a $4$ giusto?
Non confondere la lunghezza del ciclo con il periodo di una permutazione. Per determinare la lunghezza del ciclo basta contare gli elementi che fanno parte del ciclo; quindi quando hai scritto (12)(34) hai due cicli di lunghezza 2 e non 1 di lunghezza 4; te ne potresti rendere conto benissimo anche dal fatto che se avessi avuto un ciclo di lunghezza 4 , tutti gli elementi dovevano essere coinvolti nel ciclo, cioè dovresti aver avuto uno scambio tra 1 e 2, tra 2 e 3, tra 3 e 4 , tra 4 e 1, etc..., cosa che non accade in un ciclo di lunghezza 2;...pensaci.
Il periodo di una permutazione è data dal minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli disgiunti; quindi se hai due cicli di lunghezza 2, cioè due trasposizioni; il periodo è 2 (m.c.m(2,2)=2).
p.s.: hai traformato bene i cicli in permutazioni.
Il periodo di una permutazione è data dal minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli disgiunti; quindi se hai due cicli di lunghezza 2, cioè due trasposizioni; il periodo è 2 (m.c.m(2,2)=2).
p.s.: hai traformato bene i cicli in permutazioni.
il secondo ha periodo mcm(2,2)=2 dato che sono due cicli disgiunti.
mentre il primo esempio ha un ciclo di lunghezza 5 quindi 5 trasposizioni e il periodo è 5 giusto?
apparte il mcm dei due cicli che non ho fatto diciamo che va bene ? se è giusto ora mi rimane da capire
$u°v$ come va interpretata per ricavare il periodo:dato che singolarmente ci sono riuscito.
mentre il primo esempio ha un ciclo di lunghezza 5 quindi 5 trasposizioni e il periodo è 5 giusto?
apparte il mcm dei due cicli che non ho fatto diciamo che va bene ? se è giusto ora mi rimane da capire
$u°v$ come va interpretata per ricavare il periodo:dato che singolarmente ci sono riuscito.
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