Perché non vale questa sostituzione?
Ciao,
Avevo già chiesto, ma sento di non aver ancora capito il mio errore e volevo provare a discuterne con qualcun altro, così che magari nonostante la mia idiozia riesca a capire.
Io non riesco a figurarmi il motivo per cui:
1) Se io ho $f(g(x))=z$, in cui $g(x)=y$, allora posso sostituire ta parentesi a primo membro a $g(x)$ la y e ho f(y)=z, questo è banalmente il concetto di "funzione composta" e questa sostituzione funziona e porta a qualcosa di corretto.
2) Allo stesso modo se io ho $g^-1(y)=x$ e $x=f(y)$ allora $g^-1(y)=x$ sostituisco a x $f(y)$ e ho: $g^-1(y)=f(y)$, che è vera perché per come definita f è l'inversa di g e viceversa. (funziona! tale sostituzione)
che è vera, allora pare di poter sostituire una $h(x)$ con la sua m se $m=h(x)$
3) tuttavia prendiamo ora due funzioni: $f(y)=z$ e z=b(k), allora operando le "sostituzioni" come sopra scriverei $f(y)=b(k)$... ma questo non è vero e lo si vede banalmente derivando il primo membro e il secondo per y, la seconda sarebbe zero, che in generale è falso.
Mi sembra di fare la stessa "sostituzione" ma a volte va, altre NO!
Mi sono del tutto avvitato su sta cosa, credo di aver capito in questi mesi di studio cose ben più complesse ma questa è prorpio una cosa che mi fa impazzire e continuo a non capire.
Grazie per eventuali aiuti.
Avevo già chiesto, ma sento di non aver ancora capito il mio errore e volevo provare a discuterne con qualcun altro, così che magari nonostante la mia idiozia riesca a capire.
Io non riesco a figurarmi il motivo per cui:
1) Se io ho $f(g(x))=z$, in cui $g(x)=y$, allora posso sostituire ta parentesi a primo membro a $g(x)$ la y e ho f(y)=z, questo è banalmente il concetto di "funzione composta" e questa sostituzione funziona e porta a qualcosa di corretto.
2) Allo stesso modo se io ho $g^-1(y)=x$ e $x=f(y)$ allora $g^-1(y)=x$ sostituisco a x $f(y)$ e ho: $g^-1(y)=f(y)$, che è vera perché per come definita f è l'inversa di g e viceversa. (funziona! tale sostituzione)
che è vera, allora pare di poter sostituire una $h(x)$ con la sua m se $m=h(x)$
3) tuttavia prendiamo ora due funzioni: $f(y)=z$ e z=b(k), allora operando le "sostituzioni" come sopra scriverei $f(y)=b(k)$... ma questo non è vero e lo si vede banalmente derivando il primo membro e il secondo per y, la seconda sarebbe zero, che in generale è falso.
Mi sembra di fare la stessa "sostituzione" ma a volte va, altre NO!
Mi sono del tutto avvitato su sta cosa, credo di aver capito in questi mesi di studio cose ben più complesse ma questa è prorpio una cosa che mi fa impazzire e continuo a non capire.
Grazie per eventuali aiuti.
Risposte
Il problema è a monte: non è che se scrivi una formula quella significa qualcosa solo perché l'hai scritta (rifletti bene su questo). Quando scrivi qualcosa devi spiegare esattamente e precisamente cosa stai dicendo. Per esempio se scrivo "$f(x)=x^2$" quello che voglio dire è "consideriamo la funzione $f:RR to RR$ definita da $f(x)=x^2$". Naturalmente questo è un caso semplice e quindi se scrivo "$f(x)=x^2$" non c'è tanto bisogno di spiegazioni approfondite perché capiscono tutti.
Ma ci sono casi in cui questa "notazione veloce" non funziona. Per esempio, se scrivo "$f(z(t))=g(h)$" cosa significa? Non significa niente, perché sto dando troppe cose per scontate. E non posso darne un'interpretazione basandomi su qualcosa che mi sembra sensato perché, in matematica, in generale, ogni cosa ha un preciso significato.
Venendo a quanto dici
Quando tu scrivi "$f(y)=z$" io capisco che $z$ è una funzione di $y$. Poi aggiungi "$z=b(k)$" e io capisco che $z$ è una funzione di $k$. Quindi $z$ è una funzione di $y$ ma è anche una funzione di $k$. Questo è possibile ma se ci pensi implica che necessariamente $y$ e $k$ devono dipendere uno dall'altro in qualche modo. Questo non significa necessariamente che $y$ dev'essere funzione di $k$, né che $k$ dev'essere funzione di $y$. Ma ci dev'essere qualcosa che lega le quantità $y$ e $k$, per esempio può essere una relazione del tipo $y^2+k^2=1$ (è solo un esempio). Ci siamo?
Poi tu argomenti che $f(y)=b(k)$ è falso perché derivando il secondo membro rispetto a $y$ viene $0$. Ma come ti dicevo qui stai dando una montagna di cose per scontate. Prima di tutto stai dando per scontato che $k$ sia esprimibile come funzione di $y$, e poi stai addirittura usando il fatto che $k$ è costante rispetto a $y$. Questa è una tua assunzione arbitraria che non puoi fare così allegramente. Anche assumendo che $k$ sia funzione di $y$, come ti ho mostrato sopra non c'è nessun universo in cui $k$ sia costante rispetto a $y$, se vale un'uguaglianza del tipo $f(y)=b(k)$.
Ma ci sono casi in cui questa "notazione veloce" non funziona. Per esempio, se scrivo "$f(z(t))=g(h)$" cosa significa? Non significa niente, perché sto dando troppe cose per scontate. E non posso darne un'interpretazione basandomi su qualcosa che mi sembra sensato perché, in matematica, in generale, ogni cosa ha un preciso significato.
Venendo a quanto dici
"ciaomioncino":
3) tuttavia prendiamo ora due funzioni: $f(y)=z$ e z=b(k), allora operando le "sostituzioni" come sopra scriverei $f(y)=b(k)$... ma questo non è vero e lo si vede banalmente derivando il primo membro e il secondo per y, la seconda sarebbe zero, che in generale è falso.
Quando tu scrivi "$f(y)=z$" io capisco che $z$ è una funzione di $y$. Poi aggiungi "$z=b(k)$" e io capisco che $z$ è una funzione di $k$. Quindi $z$ è una funzione di $y$ ma è anche una funzione di $k$. Questo è possibile ma se ci pensi implica che necessariamente $y$ e $k$ devono dipendere uno dall'altro in qualche modo. Questo non significa necessariamente che $y$ dev'essere funzione di $k$, né che $k$ dev'essere funzione di $y$. Ma ci dev'essere qualcosa che lega le quantità $y$ e $k$, per esempio può essere una relazione del tipo $y^2+k^2=1$ (è solo un esempio). Ci siamo?
Poi tu argomenti che $f(y)=b(k)$ è falso perché derivando il secondo membro rispetto a $y$ viene $0$. Ma come ti dicevo qui stai dando una montagna di cose per scontate. Prima di tutto stai dando per scontato che $k$ sia esprimibile come funzione di $y$, e poi stai addirittura usando il fatto che $k$ è costante rispetto a $y$. Questa è una tua assunzione arbitraria che non puoi fare così allegramente. Anche assumendo che $k$ sia funzione di $y$, come ti ho mostrato sopra non c'è nessun universo in cui $k$ sia costante rispetto a $y$, se vale un'uguaglianza del tipo $f(y)=b(k)$.
Se due cose sono uguali, quando in un'espressione compare una delle due ci puoi sostituire l'altra.
Quindi anche la terza sostituzione è giusta. Perchè dici che non è giusta? Fai un esempio concreto.
Tieni presente che quando si scrive una cosa come $f(x)=y$ si intende che la quantità $y$ ha un qualche tipo di dipendenza ($f$) da $x$. A volte però si possono lasciare implicite alcune dipendenze, ma bisogna fare attenzione paragonare termini in cui in un caso una variabile in particolare viene lasciata implicita e nell'altro viene esplicitata, questo è un errore!
Quindi anche la terza sostituzione è giusta. Perchè dici che non è giusta? Fai un esempio concreto.
Tieni presente che quando si scrive una cosa come $f(x)=y$ si intende che la quantità $y$ ha un qualche tipo di dipendenza ($f$) da $x$. A volte però si possono lasciare implicite alcune dipendenze, ma bisogna fare attenzione paragonare termini in cui in un caso una variabile in particolare viene lasciata implicita e nell'altro viene esplicitata, questo è un errore!
Purtroppo la risposta che vuoi viene col tempo; la cosa che devi leggere è l'introduzione di Paul Taylor "Practical foundations of Mathematics", "First Order Reasoning", e in particolare la sezione 1.1. ("Sostituzione [di termini in altri termini]") la definizione 1.1.3 e 1.1.4.
Sopra ogni altra cosa, però, è essenziale il Lemma 1.1.5 https://i.postimg.cc/3xM9DZw6/2025-01-19-22-53.png
Questa è la risposta che vuoi. Purtroppo, non c'è alcun modo che tu la capisca oggi. Puoi, tuttavia, considerare l'idea di studiare della logica in modo approfondito -è quel che serve per apprezzare il libro di Taylor.
Sopra ogni altra cosa, però, è essenziale il Lemma 1.1.5 https://i.postimg.cc/3xM9DZw6/2025-01-19-22-53.png
Questa è la risposta che vuoi. Purtroppo, non c'è alcun modo che tu la capisca oggi. Puoi, tuttavia, considerare l'idea di studiare della logica in modo approfondito -è quel che serve per apprezzare il libro di Taylor.
@Martino:
grazie ho finalmente capito i miei errori. Ero davvero orbo e non capivo, ora mi pare chiarissimo.
In sostanza mi è chiaro che il mio errore risiedeva proprio in quel pezzetto del quote, cioè vedo che in effetti b(k) ha una dipendenza da y. In realtà c'è di più: essendo b la funzione di k, sarà k a dipendere da y (questo lo vedo meno perché dico b(k) dipende da y, ma perché deduco che k ne dipenderà? potrebbe dipenderne b(k) ma non k, cioè solo la funzione dipende da y ma non la variabile linera k). Capito ciò, inoltre potrei supporre essere una funzione di y la k, ma in realtà c'è addirittura una dipendenza più generica ra y<->k! come mi indichi tu, e anche questo passetto in più come posso farlo per capirlo? Insomma vorrei dimostrarle queste due cose formalmente.
****
@otta96: il mio errore qui era che pensavo alla b(k) come non dipendente da y e quindi derivando per y mi veniva zero, ma non mi ero accorto che facevo una assunzione forte ed errata.
Per risponderti
****
@megas_archon: ok credo di avere molto lavoro da fare prima di raggiungere tale livello.
Mi accntentavo di capire il mio errore, ma sicuramente voglio rimboccarmi le maniche sulla logica.
grazie ho finalmente capito i miei errori. Ero davvero orbo e non capivo, ora mi pare chiarissimo.
Questo è possibile ma se ci pensi implica che necessariamente y e k devono dipendere uno dall'altro in qualche modoquesto anche l'ho capito meglio ora, a livello intuitivo. Ma come posso dimostrare formalmente questo essere necessario?
In sostanza mi è chiaro che il mio errore risiedeva proprio in quel pezzetto del quote, cioè vedo che in effetti b(k) ha una dipendenza da y. In realtà c'è di più: essendo b la funzione di k, sarà k a dipendere da y (questo lo vedo meno perché dico b(k) dipende da y, ma perché deduco che k ne dipenderà? potrebbe dipenderne b(k) ma non k, cioè solo la funzione dipende da y ma non la variabile linera k). Capito ciò, inoltre potrei supporre essere una funzione di y la k, ma in realtà c'è addirittura una dipendenza più generica ra y<->k! come mi indichi tu, e anche questo passetto in più come posso farlo per capirlo? Insomma vorrei dimostrarle queste due cose formalmente.
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@otta96: il mio errore qui era che pensavo alla b(k) come non dipendente da y e quindi derivando per y mi veniva zero, ma non mi ero accorto che facevo una assunzione forte ed errata.
Per risponderti
Perchè dici che non è giusta? Fai un esempio concreto.boh, un esempio concreto idiota può benissimo essere 3x=4k.
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@megas_archon: ok credo di avere molto lavoro da fare prima di raggiungere tale livello.
Mi accntentavo di capire il mio errore, ma sicuramente voglio rimboccarmi le maniche sulla logica.
"ciaomioncino":Se $b(k)$ dipende da $y$ allora anche $k$ dipende da $y$, perché se $k$ non dipende da $y$ allora nemmeno $b(k)$ dipende da $y$, essendo $b(k)$ una funzione della sola $k$.
potrebbe dipenderne b(k) ma non k, cioè solo la funzione dipende da y ma non la variabile linera k
inoltre potrei supporre essere una funzione di y la k, ma in realtà c'è addirittura una dipendenza più generica ra y<->k! come mi indichi tu, e anche questo passetto in più come posso farlo per capirlo?Ma scusa, l'uguaglianza $f(y)=b(k)$ determina appunto una dipendenza tra $y$ e $k$, non ti sembra?
un esempio concreto idiota può benissimo essere 3x=4k.In questo esempio non c'è $y$. Dovresti fare un esempio con $y$.
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