Per la radice pari di un numero è solo il numero positivo?
Ciò che vorrei chiedere è questo.
In $R$:
$sqrt(4)=2$ è corretto.
$sqrt(4)=-2$ è errato, anche se \(\displaystyle {-2\bullet-2} \)$=4$
Questo lo so perché per definizione si dice che la radice con indice pari di un numero positivo è un numero positivo.
Ma perché è proprio questa la definizione? Se invece di definire così la radice, si fosse definita dicendo che "la radice di un numero positivo è un numero negativo" (considerando $sqrt(4)=-2$ , in base a questa nuova definizione io so che è corretto perché \(\displaystyle {-2\bullet-2} \)$=4$), cosa sarebbe cambiato nella matematica?
Sicuramente c'è un motivo al fatto che si è deciso che il risultato della radice con indice pari è un numero positivo e non si considera quel numero negativo che moltiplicato per se stesso da comunque il radicando, ma quale è questo motivo?
Sono al primo anno di ingegneria quindi vi chiedo se riuscite a spiegarlo senza troppo approfondimento altrimenti non capisco.
Grazie mille a tutti!
In $R$:
$sqrt(4)=2$ è corretto.
$sqrt(4)=-2$ è errato, anche se \(\displaystyle {-2\bullet-2} \)$=4$
Questo lo so perché per definizione si dice che la radice con indice pari di un numero positivo è un numero positivo.
Ma perché è proprio questa la definizione? Se invece di definire così la radice, si fosse definita dicendo che "la radice di un numero positivo è un numero negativo" (considerando $sqrt(4)=-2$ , in base a questa nuova definizione io so che è corretto perché \(\displaystyle {-2\bullet-2} \)$=4$), cosa sarebbe cambiato nella matematica?
Sicuramente c'è un motivo al fatto che si è deciso che il risultato della radice con indice pari è un numero positivo e non si considera quel numero negativo che moltiplicato per se stesso da comunque il radicando, ma quale è questo motivo?
Sono al primo anno di ingegneria quindi vi chiedo se riuscite a spiegarlo senza troppo approfondimento altrimenti non capisco.
Grazie mille a tutti!
Risposte
In linea di massima non cambierebbe nulla (meno male XD). Pero' scegliere il valore positivo e', diciamo, "piu' naturale" (ad esempio perche' poi posso applicargli un'altra radice quadrata).
In generale, se vogliamo definire una funzione (chiamiamola $\sqrt{\cdot}$) che, dato $a$ restituisca una delle due radici del polinomio $x^2 - a$, devo scegliere quale delle due (perche' una funzione non puo' avere due immagini per uno stesso elemento del dominio). Una volta che l'ho scelta per un valore di $a \ne 0$, se voglio qualche proprieta' comoda per la mia funzione (ad esempio la continuita'), allora il valore e' determinato per ogni $a$. Nel momento in cui scelgo una delle due soluzioni, mi dimentico dell'altra. Potrei quindi definire una seconda funzione (chiamiamola $- \sqrt{ \cdot }$) che restituisce l'altro $x$.
Le cose si complicano quando salgono gli indici della radice, e se accettiamo di ingrandire un pochino il campo in cui lavoriamo, andando a finire nei numeri complessi. Ora, nel piano complesso $\mathbb{C}$, il polinomio $x^n - a$ ha $n$ radici distinte (se $a \ne 0$). Possiamo quindi definire $n$ diverse "radici", ciascuna fatta per restituire una di quelle diverse soluzioni. Nei numeri complessi e' difficile stabilire se una sia piu' bella delle altre (non ci sono numeri positivi, non c'e' un ordine...tutti i numeri complessi hanno la stessa dignita' XD) e quindi ogni volta si deve esplicitare quale scegliamo.
In particolare, nei numeri complessi, non si parla in genere di una radice quadrata, ma di un ramo di radice quadrata, perche' in certi ambiti e' piu' interessante trattare la radice quadrata come un qualcosa che restituisce entrambi i valori (accettando che non sia propriamente una funzione).
Se ne parla ad esempio qui nel caso del logaritmo (che se vogliamo non e' altro che "una radice con indice altissimo"). Una volta che si riesce a dare una definizione coerente di logaritmo (o meglio di "ramo di logaritmo"), e' facile dare una definizione di (ramo di) radice $n$-esima, per qualunque $n$. Ma gia' che ci siamo anche di (ramo di) arco seno, arco coseno e arco tangente.
In generale, se vogliamo definire una funzione (chiamiamola $\sqrt{\cdot}$) che, dato $a$ restituisca una delle due radici del polinomio $x^2 - a$, devo scegliere quale delle due (perche' una funzione non puo' avere due immagini per uno stesso elemento del dominio). Una volta che l'ho scelta per un valore di $a \ne 0$, se voglio qualche proprieta' comoda per la mia funzione (ad esempio la continuita'), allora il valore e' determinato per ogni $a$. Nel momento in cui scelgo una delle due soluzioni, mi dimentico dell'altra. Potrei quindi definire una seconda funzione (chiamiamola $- \sqrt{ \cdot }$) che restituisce l'altro $x$.
Le cose si complicano quando salgono gli indici della radice, e se accettiamo di ingrandire un pochino il campo in cui lavoriamo, andando a finire nei numeri complessi. Ora, nel piano complesso $\mathbb{C}$, il polinomio $x^n - a$ ha $n$ radici distinte (se $a \ne 0$). Possiamo quindi definire $n$ diverse "radici", ciascuna fatta per restituire una di quelle diverse soluzioni. Nei numeri complessi e' difficile stabilire se una sia piu' bella delle altre (non ci sono numeri positivi, non c'e' un ordine...tutti i numeri complessi hanno la stessa dignita' XD) e quindi ogni volta si deve esplicitare quale scegliamo.
In particolare, nei numeri complessi, non si parla in genere di una radice quadrata, ma di un ramo di radice quadrata, perche' in certi ambiti e' piu' interessante trattare la radice quadrata come un qualcosa che restituisce entrambi i valori (accettando che non sia propriamente una funzione).
Se ne parla ad esempio qui nel caso del logaritmo (che se vogliamo non e' altro che "una radice con indice altissimo"). Una volta che si riesce a dare una definizione coerente di logaritmo (o meglio di "ramo di logaritmo"), e' facile dare una definizione di (ramo di) radice $n$-esima, per qualunque $n$. Ma gia' che ci siamo anche di (ramo di) arco seno, arco coseno e arco tangente.
Fondamentalmente è una convenzione adottata in specifici contesti.
Quando tratterete i numeri complessi vedrai che parlando di radicali si considerano TUTTE le possibili radici (vale a dire esattamente $n$ possibili risultati per la radice $n$-esima di qualsiasi $z \ne 0$)
Quando tratterete i numeri complessi vedrai che parlando di radicali si considerano TUTTE le possibili radici (vale a dire esattamente $n$ possibili risultati per la radice $n$-esima di qualsiasi $z \ne 0$)
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