Per induzione

[G.D.5]

Salve a tutti.
Mi dite se le dimostrazioni per induzione di queste proprietà delle potenze vanno bene?
Nota: $NN_0$ è l'insieme dei naturali compreso lo $0$.

Dim. 1
Siano $a, b \in ZZ$ e $n, m \in NN_0$. Dimostrare per induzione che $(ab)^n=a^n*b^n$.
1) Per $n=0$ si ha: $(ab)^0=1=1*1=a^0 * b^0$.
2) Supponiamo vero per $n$ che $(ab)^n=a^n*b^n$. Si ha: $(ab)^(n+1)=(ab)^n * (ab)=a^n * b^n * a * b=(a^n * a)(b^n * b)=a^(n+1)*b^(n+1)$.

Dim. 2
Siano $a, b \in ZZ$ e $n, m \in NN_0$. Dimostrare per induzione che $a^n*a^m=a^(n+m).
1) Per $n=0$ si ha: $a^0*a^m=1*a^m=a^m=a^(0+m)$.
2) Supponiamo vero per $n$ che $a^n * a^m =a^(n+m)$. Si ha: $a^(n+1)*a^m=a^n * a * a^m=a^n * a^m * a=a^(n+m)*a=a^(n+m+1)$.

Dim. 3
Siano $a, b \in ZZ$ e $n, m \in NN_0$. Dimostrare per induzione che $(a^n)^m=a^(nm)$.
1) Per $n=0$ si ha $(a^0)^m=1^m=1$.
2) Supponiamo vero per $n$ che $(a^n)^m=a^(nm)$. Si ha: $(a^(n+1))^m=(a^n * a)^m=(a^n)^m * a^m=a^(nm)*a^m=a^(nm+m)$.


In particolare non ho capito na cosa: ammesso e non concesso che le dim. siano buone, nella Dim. 2 e nella Dim. 3 ho due parametri naturali ($n$ e $m$) su cui dover fare l'induzione. Io però l'ho fatta su uno solo dei due. Devo farla anche sull'altro? Devo fare l'induzione simultaneamente su entrambi?

Grazie.

EDITATO SU RICHIESTA DI CODINO75

[codino75]

"WiZaRd":

Dim. 2
Siano $a, b \in ZZ$ e $n, m \in NN_0$. Dimostrare per induzione che $a^n*a^m=a^(n+m).
1) Per $n=0$ si ha: $a^0*a^m=1*a^m=a^m=a^(0+m)$.
2) Supponiamo vero per $n$ che $a^n * a^m =a^(n+m)$. Si ha: $a^n * a^m * a=a^(n+m)*a=a^(n+m+1)$.

puo iesplicitare di piu' i passaggi nel punto 2) della Dim.2?
non MI e' chiarissimo nei passaggi

[gugo82]

Dim. 1: OK!

Dim. 2 e 3: Ti sei risposto da solo: dovresti fare induzione su entrambi gli esponenti, prima su $n$ (ritenendo $m$ fissato) e poi su $m$ (ritenendo $n$ fissato).
D'altra parte la moltiplicazione in $ZZ$ è commutativa e quindi i due esponenti si possono scambiare di ruolo: quindi basta aggiungere alle tue Dim. 2 e 3 la magica frase "Lo stesso vale anche per $m$ perchè il prodotto in $ZZ$ è commutativo".

[amel3]

"gugo82": [la magica frase...]

E se non sa dire una frase magica Wizard siamo messi male...

[G.D.5]

Olè...e la magica frase è comparsa (in uno spazio che sarà si e no si mezzo centrimetro tra la fine di questo esercizio e quello dopo) sul mio quaderno.
Sto risistemando tutti gli appunti, appuntini, esercizi, esercizietti, fogli e foglietti, quindi dopo mesi di lavoro sparso prima di "rilegare" sto passando al vaglio del forum quello che ho fatto, meglio correggere ora i i miei erroracci.

Grazie e buona serata a tutti.