Per Induzione...

[G.D.5]

Si dimostri pe Induzione che

i) $1+3+5+ ldots + (2n-1)= n^2$, $forall n in NN$
ii) $1^3+2^3+3^3+ ldots + n^3= [frac{n(n+1)}{2}]^2$, $\forall n in NN$

* Si adotti la convenzione che $NN={1,2,3,4, ldots}$

Firmato l'esercitatore di Analisi 1.

Sono i primi esercizi sull'induzione che faccio, quindi vi chiedo, se non è troppo disturbo, di dare un'occhiatina giusto per contare gli errori.

i)
base dell'induzione $n=1 => 2*1-1=1^2 => 1=1$
ipotesi di induzione supponiamo che sia vera $1+2+3+ ldots + (2n-1)=n^2$; sommiamo membro a membro $2n+1$ e otteniamo

$1+2+3+ ldots + (2n-1) + (2n+1)= n^2 + 2n + 1$
$1+2+3+ ldots + (2n-1) + [2(n+1)-1]=(n+1)^2$

essendo $[2(n+1)-1]=2n+1$ e $(n+1)^2=n^2+2n+1$

ii)
base dell'induzione $n=1 => 1^3=[frac{1*(1+1)}{2}] => 1=1^2=1$

ipotesi di induzione supponiamo che sia vera $1^2+2^3+3^3+ldots+n^3=[frac{n(n+1)}{2}]^2$ e sommiamo membro a membro $(n+1)^3$:


$1^2+2^3+3^3+ldots+n^3+(n+1)^3=[frac{n(n+1)}{2}]^2+(n+1)^3$

$1^2+2^3+3^3+ldots+n^3+(n+1)^3=frac{n^2(n+1)^2}{2^2}+(n+1)^2(n+1)$
$1^2+2^3+3^3+ldots+n^3+(n+1)^3=frac{n^2(n+1)^2+2^2 (n+1)^2 2(n+1)}{2^2}$
$1^2+2^3+3^3+ldots+n^3+(n+1)^3=frac{(n+1)^2 (n^2+2^2n+2^2)}{2^2}$
$1^2+2^3+3^3+ldots+n^3+(n+1)^3=[frac{(n+1)(n+2)}{2}]^2$



Vanno bene?

[Mega-X]

Secondo me si

[Studente Anonimo]

Io direi che la dimostrazione di Wizard va bene.

[G.D.5]

"Sergio":Non capisco (e sarà una mia carenza) perché "sommi membro a membro".
Direi:

i) se l'equaglianza è vera per $n$ è vera anche per $(n+1)$; infatti:
$(1+2+3+...+(2n-1))+(2(n+1)-1)=(1+2+...+(2n-1))+(2n+1)=n^2+(2n+1)=(n+1)^2$

Dico che sommo membro a membro perchè parto da $1+2+3+ldots+(2n-1)=n^2$ dove $2(n+1)-1=2n+1$ non ce l'ho, quindi lo devo aggiungere sia a destra che a sinistra ottenendo un'uguaglianza equivalente a quella di partenza e, quindi, come questa vera.

[G.D.5]

Vi ringrazio per la partecipazione.

Buona notte a tutti (domani mattina ho la sveglia alle 5.30 )

[Luca.Lussardi]

La dimostrazione di Wizard è formalmente corretta, però quella suggerita da Sergio è più corretta da un certo punto di vista; infatti Wizard ha maniploato "senza motivo" l'ipotesi induttiva, invece Sergio ha pigliato il membro di sinistra arrestato all'indice $n+1$ e, strada facendo, ha trovato dove applicare l'ipotesi induttiva.

Sebbene dal punto di vista logico siano entrambe corrette, io preferisco quella di Sergio.

[G.D.5]

"Luca.Lussardi":La dimostrazione di Wizard è formalmente corretta, però quella suggerita da Sergio è più corretta da un certo punto di vista; infatti Wizard ha maniploato "senza motivo" l'ipotesi induttiva, invece Sergio ha pigliato il membro di sinistra arrestato all'indice $n+1$ e, strada facendo, ha trovato dove applicare l'ipotesi induttiva.

Sebbene dal punto di vista logico siano entrambe corrette, io preferisco quella di Sergio.

Ok. Credo di aver capito. Thanks.