Per chi ha un pò di intuito...
Consideriamo il piano $R^2$ privato di $n$ punti distinti. Sia $X$ l'insieme così ottenuto.
Sia $x\inX$ fissato. Consideriamo l'insieme $\Omega(X,x)$ formato da tutti i cammini continui
che partono da $x$ e tornano in $x$. In $\Omega$ diciamo equivalenti due cammini se
si ottengono l'uno dall'altro mediante una deformazione continua. Sia ora $\pi_1(X)$ il quoziente
$(\Omega(X,x))/(\rho)$, dove $\rho$ è l'equivalenza appena definita. $\pi_1(X)$ è un gruppo rispetto
alla composizione di cammini (si fa prima uno e poi l'altro).
Bene...
1) (facile... molto intuitivo) determinare $\pi_1(X)$ per $n=1$
2) (serve sapere un pò di teoria dei gruppi) determinare $\pi_1(X),\foralln$
Nota:
chi sa un pò di topologia sa anche che il $\pi_1$ è un gruppo molto importante
associato ad uno spazio topologico connesso per archi. Esso è detto gruppo
fondamentale, o primo gruppo di omotopia.
Sia $x\inX$ fissato. Consideriamo l'insieme $\Omega(X,x)$ formato da tutti i cammini continui
che partono da $x$ e tornano in $x$. In $\Omega$ diciamo equivalenti due cammini se
si ottengono l'uno dall'altro mediante una deformazione continua. Sia ora $\pi_1(X)$ il quoziente
$(\Omega(X,x))/(\rho)$, dove $\rho$ è l'equivalenza appena definita. $\pi_1(X)$ è un gruppo rispetto
alla composizione di cammini (si fa prima uno e poi l'altro).
Bene...
1) (facile... molto intuitivo) determinare $\pi_1(X)$ per $n=1$
2) (serve sapere un pò di teoria dei gruppi) determinare $\pi_1(X),\foralln$
Nota:
chi sa un pò di topologia sa anche che il $\pi_1$ è un gruppo molto importante
associato ad uno spazio topologico connesso per archi. Esso è detto gruppo
fondamentale, o primo gruppo di omotopia.
Risposte
Per salire di complessità, propongo anche di calcolare il gruppo fondamentale del toro reale di dimensione 2, ovvero la ciambella con un buco.
Il toro $T$ è a meno di omotopie (!?) dato dal prodotto cartesiano (topologico)
$S^1\timesS^1$. Tenendo conto che il
gruppo fondamentale di $S^1$ è * (non scrivo chi è per non mettere la soluzione del mio
per $n=1$), allora, tenendo anche conto che il gruppo fondamentale del prodotto è il prodotto
dei gruppi fondamentali, $\pi_1(T)=$*$\times$*.
p.s.
scusami Luca, ma credo che il mio, per $n$ generico sia un tantino più complesso...
non credi?
$S^1\timesS^1$. Tenendo conto che il
gruppo fondamentale di $S^1$ è * (non scrivo chi è per non mettere la soluzione del mio
per $n=1$), allora, tenendo anche conto che il gruppo fondamentale del prodotto è il prodotto
dei gruppi fondamentali, $\pi_1(T)=$*$\times$*.
p.s.
scusami Luca, ma credo che il mio, per $n$ generico sia un tantino più complesso...
non credi?
"Luca.Lussardi":
Per salire di complessità, propongo anche di calcolare il gruppo fondamentale del toro reale di dimensione 2, ovvero la ciambella con un buco.
Io utilizzando i lacci ho ottenuto il gruppo $ZxZ$.
*=Z....
ermanno sono curioso di conoscere la tua soluzione per $n=1$
e già che ci sei sono anche curioso di sapere dove hai imparato
queste cose!
ermanno sono curioso di conoscere la tua soluzione per $n=1$
e già che ci sei sono anche curioso di sapere dove hai imparato
queste cose!
Se usi il Teorema certo che è facile, ma far saltar fuori a mano ZxZ non è così immediato.
già... sinceramente non so neanche se saprei farlo...
magari pensandoci...
magari pensandoci...
In effetti forse per bene anche io avrei qualche problema... ma a occhio basta far girare il meridiano ed il parallelo, e dovrebbe uscire ZxZ...spesso la topologia algebrica è un gioco, almeno quella di base.
si infatti... mi sto divertendo un sacco a studiarla...
2) (serve sapere un pò di teoria dei gruppi) determinare $\pi_1(X),\foralln$
Dalla continuità di un cammino è chiaro che un cammino che gira una volta intorno a un punto non è omotopo a quello che gira due, tre.. volte intorno a tale punto. Però possiamo considerare tutti questi cammini generati da quello che gira una volta intorno ad un punto (infatti ciascuno di essi può essere ottenuto omotopicamente applicando tante volte quello che gira una volta sola). Per cui per n=1 si ha un gruppo infinito con un generatore e quindi Z. Ora, per n generico si fa lo stesso ragionamento, quindi si hanno n generatori. Una qualunque parola formata da tali n generatori descrive un cammino, e quindi si ha il gruppo libero ad n generatori.
Dalla continuità di un cammino è chiaro che un cammino che gira una volta intorno a un punto non è omotopo a quello che gira due, tre.. volte intorno a tale punto. Però possiamo considerare tutti questi cammini generati da quello che gira una volta intorno ad un punto (infatti ciascuno di essi può essere ottenuto omotopicamente applicando tante volte quello che gira una volta sola). Per cui per n=1 si ha un gruppo infinito con un generatore e quindi Z. Ora, per n generico si fa lo stesso ragionamento, quindi si hanno n generatori. Una qualunque parola formata da tali n generatori descrive un cammino, e quindi si ha il gruppo libero ad n generatori.
ok... bravo!!
Mmm... qualcosa non mi torna: se io tolgo 2 punti $A$ e $B$ dal piano, ho i cammini che non girano attorno a nessun punto, quelli che girano solo attorno ad $A$, quelli che girano solo attorno a $B$, e quelli che girano attorno ad entrambi. Ora mi pare che non ci siano omotopie tra questi $4$ tipi di cammini, presi a due a due. Quindi, come fa a venire il gruppo libero generato da 2 elementi?
Forse ho detto delle sciocchezze... è un bel po' di tempo che non leggo nulla di Topologia algebrica.
Forse ho detto delle sciocchezze... è un bel po' di tempo che non leggo nulla di Topologia algebrica.
è vero che non sono omotopi, però possono essere costruiti a partire da opportuni
generatori. Prendiamo sempre il caso $n=2$ (piano meno due punti) allora io posso
prendere come generatori un cammino che gira intorno ad un punto e un cammino
che gira intorno all'altro punto.
A questo punto è vero che un cammino che gira intorno ad entrambi i punti non è
omotopo a nessuno dei generatori, ma è vero che lo posso costruire a meno di omotopie
applicando prima un generatore e poi l'altro. Analogamente il cammino che non
gira attorno a niente è omotopo al cammino che si ottiene facendo un generatore e poi il
suo inverso.
In generale i generatori saranno i cammini che girano una volta attorno ad un punto
mancante e quindi sono $n$. E un qualunque cammino si potrà scrivere come parola
in quest e $n$ lettere....
generatori. Prendiamo sempre il caso $n=2$ (piano meno due punti) allora io posso
prendere come generatori un cammino che gira intorno ad un punto e un cammino
che gira intorno all'altro punto.
A questo punto è vero che un cammino che gira intorno ad entrambi i punti non è
omotopo a nessuno dei generatori, ma è vero che lo posso costruire a meno di omotopie
applicando prima un generatore e poi l'altro. Analogamente il cammino che non
gira attorno a niente è omotopo al cammino che si ottiene facendo un generatore e poi il
suo inverso.
In generale i generatori saranno i cammini che girano una volta attorno ad un punto
mancante e quindi sono $n$. E un qualunque cammino si potrà scrivere come parola
in quest e $n$ lettere....
Geometricamente lo vedo, ma algebricamente no. Mi fai un esempio di gruppo libero generato da 2 elementi?
Ok, non mi serve, bastava notare che il piano meno 2 punti, lo stringo prima in due triangoli disgiunti che contengono ciascuno i due punti, e che hanno un vertice in comune, poi buco i triangoli e allargo, ottenendo dunque due circonferenze, quindi il piano meno 2 punti è omotopicamente equivalente a due circonferenze che partono da uno stesso punto. Da cui la classe di omologia voluta. Grazie comunque.
siano $a,b$ due generatori il gruppo libero su $a$ e $b$ ha come
insieme sostegno l'insieme di tutte le parole
con lettere $a,b$. Ad esempio aaabbab e bbabbaaab
sono elementi del gruppo. L'operazione di gruppo è "metti
una parola di seguito all'altra" e l'inversione è una "formalità":
si denota con $e$ la parola vuota e per ogni lettera $a$ con
$a^{-1}$ la sua inversa.
Infatti il gruppo libero a $n$ generatori è una costruzione
molto formale, ma nel nostro caso va a pennello in quanto
l'operazione è proprio la composizione di cammini, con $e$
denotiamo il cammino costante nel punto base, l'inverso di un
cammino è "percorri il cammino al contrario" e tutto torna..
insieme sostegno l'insieme di tutte le parole
con lettere $a,b$. Ad esempio aaabbab e bbabbaaab
sono elementi del gruppo. L'operazione di gruppo è "metti
una parola di seguito all'altra" e l'inversione è una "formalità":
si denota con $e$ la parola vuota e per ogni lettera $a$ con
$a^{-1}$ la sua inversa.
Infatti il gruppo libero a $n$ generatori è una costruzione
molto formale, ma nel nostro caso va a pennello in quanto
l'operazione è proprio la composizione di cammini, con $e$
denotiamo il cammino costante nel punto base, l'inverso di un
cammino è "percorri il cammino al contrario" e tutto torna..
oramai avevo scritto...
carino anche il tuo procedimento..
carino anche il tuo procedimento..
Errata corrige: leggi omotopia, e non omologia. Se il gruppo di Poincarè è abeliano coincidono comunque...
non so niente di omologia.. quindi non mi ero accorto dell'errore!!
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