Passaggio problematico dimostrazione in una sommatoria
ciao a tutti, sto cercando invano di capire il passaggio di una dimostrazione, ho postato nella sezione algebra lineare perchè mi è sembrata la sezione più naturale. Ecco il problema:
dato U insieme non vuoto di interi positivi chiuso rispetto alla somma.
$\sum_{j=1}^k i_j*b_j = 1$
con $b_1 ... b_j$ appartenenti all'insieme U e $i_1 ... i_j in ZZ$ (cioè sono dei coefficienti che possono avere valore negativo)
Posso riscrivere la sommatoria come:
$u-v = 1$
dove in u ho raccolto tutti gli elementi positivi e in -v quelli negativi della sommatoria. A questo punto il teorema dice che se v=0 allora nella sommatoria precedente tutti gli elementi sono positivi o nulli, da cui afferma che "il che implica che qualche $b_j in U = 1$" per quale motivo??
vi ringrazio molto
dato U insieme non vuoto di interi positivi chiuso rispetto alla somma.
$\sum_{j=1}^k i_j*b_j = 1$
con $b_1 ... b_j$ appartenenti all'insieme U e $i_1 ... i_j in ZZ$ (cioè sono dei coefficienti che possono avere valore negativo)
Posso riscrivere la sommatoria come:
$u-v = 1$
dove in u ho raccolto tutti gli elementi positivi e in -v quelli negativi della sommatoria. A questo punto il teorema dice che se v=0 allora nella sommatoria precedente tutti gli elementi sono positivi o nulli, da cui afferma che "il che implica che qualche $b_j in U = 1$" per quale motivo??
vi ringrazio molto
Risposte
[xdom="Martino"]Spostato in algebra. Attenzione alla sezione in futuro, grazie. Sei pregato di mettere un titolo che specifichi meglio l'argomento di cui parli. Per farlo, clicca su "modifica" nel tuo intervento. Grazie.[/xdom]
d'accordo sulla sezione, purtroppo non saprei che altro titolo mettere accetto suggerimenti?:)
[xdom="Martino"]Qualunque titolo abbastanza specifico va bene. Mettine uno che chiarisca che il problema riguarda una sommatoria.[/xdom]
Il punto è questo, se $v$ è nullo, si avrebbe $u=1$.
Ora, ricordiamo come è fatta la $u$: $u= \sum_{j=1}^k i_j \cdot b_j$ e $i_j,b_j \in \NN$ in quanto nella $u$ si erano messi i coefficienti che sono interi positivi per quanto riguarda gli $i_j$ mentre i $b_j$ sono positivi per definizione.
Si avrebbe una somma di interi positivi che ha come risultato $1$. Siccome gli interi positivi sono (detta terra-terra) ${1,2,3,...}={n\in \ZZ, n>0}$ allora si giunge alla stessa conclusione del testo.
Infatti l'unica soluzione che fa in modo che una somma di interi positivi mi dia uno è che i termini siano tutti nulli ma ce ne sia uno che vale uno: per quanto riguarda quest'ultimo, deve essere $i_h \cdot b_h=1$ (ho messo l'indice $h$ perché questo è quello che vale uno che non sappiamo qual è ma sappiamo che esiste) e quindi l'unica soluzione è $i_h=b_h=1$ poiché trattasi di interi positivi.
Uhm, spero che si sia capito come l'ho scritto...
Ora, ricordiamo come è fatta la $u$: $u= \sum_{j=1}^k i_j \cdot b_j$ e $i_j,b_j \in \NN$ in quanto nella $u$ si erano messi i coefficienti che sono interi positivi per quanto riguarda gli $i_j$ mentre i $b_j$ sono positivi per definizione.
Si avrebbe una somma di interi positivi che ha come risultato $1$. Siccome gli interi positivi sono (detta terra-terra) ${1,2,3,...}={n\in \ZZ, n>0}$ allora si giunge alla stessa conclusione del testo.
Infatti l'unica soluzione che fa in modo che una somma di interi positivi mi dia uno è che i termini siano tutti nulli ma ce ne sia uno che vale uno: per quanto riguarda quest'ultimo, deve essere $i_h \cdot b_h=1$ (ho messo l'indice $h$ perché questo è quello che vale uno che non sappiamo qual è ma sappiamo che esiste) e quindi l'unica soluzione è $i_h=b_h=1$ poiché trattasi di interi positivi.
Uhm, spero che si sia capito come l'ho scritto...
mmm è più o meno la stessa conclusione a cui ero arrivato io ...però il testo trae in inganno, dice infatti:
in realtà per quanto abbiamo detto gli elementi di u sono TUTTI nulli tranne uno solo positivo che vale uno giusto? cioè a mio avviso è spiegato in modo sibillino...grazie mille per l'aiuto!:)
...però il testo trae in inganno, dice infatti:nella sommatoria precedente tutti gli elementi sono positivi o nulli, da cui afferma che "il che implica che qualche b
j∈U=1"
in realtà per quanto abbiamo detto gli elementi di u sono TUTTI nulli tranne uno solo positivo che vale uno giusto? cioè a mio avviso è spiegato in modo sibillino...grazie mille per l'aiuto!:)
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