Partizioni di insiemi
Ciao e un grazie anticipato a chi, molto probabilmente in un secondo, troverà l'ovvietà che mi ha bloccato.
Sono nuova e spero di non commettere "guai" già alla mia prima interazione con il forum.
L'esercizio si presenta come segue:
Dati due insiemi A e B. Si dimostri che
{ A\B , B\A , $ A nn B $} è una partizione di $ A uu B $.
Quindi, se non sbaglio, devo provare che le tre condizioni di una partizione di insieme sono verificate per l'insieme dato, che chiamo W per comodità, ovvero
1- $ O/ !in $ W;
2- $ uuu W = A uu B$;
3- $AA X,Y in W$ e $X != Y$ , allora $X nn Y = O/$.
Ho dimostrato (quasi) senza problemi che W rispetta i punti 2 e 3, ma per il punto 1 ho qualche difficoltà.
Nel testo del problema non ho informazioni sui due insiemi A e B e nel caso in cui:
- A e B siano disgiunti allora per definizio avrei A $ nn $ B $=$ $ O/$
oppure
- A = B e allora avrei A\B$=$ $ O/$ e B\A$=$ $ O/$.
e non avrei verificato il punto 1.
O sbaglio?
Scusate il disturbo.
Sono nuova e spero di non commettere "guai" già alla mia prima interazione con il forum.
L'esercizio si presenta come segue:
Dati due insiemi A e B. Si dimostri che
{ A\B , B\A , $ A nn B $} è una partizione di $ A uu B $.
Quindi, se non sbaglio, devo provare che le tre condizioni di una partizione di insieme sono verificate per l'insieme dato, che chiamo W per comodità, ovvero
1- $ O/ !in $ W;
2- $ uuu W = A uu B$;
3- $AA X,Y in W$ e $X != Y$ , allora $X nn Y = O/$.
Ho dimostrato (quasi) senza problemi che W rispetta i punti 2 e 3, ma per il punto 1 ho qualche difficoltà.
Nel testo del problema non ho informazioni sui due insiemi A e B e nel caso in cui:
- A e B siano disgiunti allora per definizio avrei A $ nn $ B $=$ $ O/$
oppure
- A = B e allora avrei A\B$=$ $ O/$ e B\A$=$ $ O/$.
e non avrei verificato il punto 1.
O sbaglio?
Scusate il disturbo.
Risposte
prima diamo una definizione di partizione più rigorosa di quella che hai scritto tu, hai fatto un po' di confusione, ma sarà il primo messaggio 
prendiamo per definizione quella di wiki: http://it.wikipedia.org/wiki/Partizione ... li_insiemi)
ora noi abbiamo come insieme di partenza [tex]$X=A\cup B$[/tex] e come partizione proposta [tex]P=\left\{ A\setminus B\ ;\ B \setminus A\ ;\ A\cap B \right\}$[/tex]
è vero che verificano i punti 2 e 3.
ma non sempre verificano il punto 1.
i controesempi sono [tex]$A=B\ \lor \ A\cap B=\emptyset$[/tex]
quindi avevi fatto tutto bene
P.S. benvenuta nel forum!
prendiamo per definizione quella di wiki: http://it.wikipedia.org/wiki/Partizione ... li_insiemi)
ora noi abbiamo come insieme di partenza [tex]$X=A\cup B$[/tex] e come partizione proposta [tex]P=\left\{ A\setminus B\ ;\ B \setminus A\ ;\ A\cap B \right\}$[/tex]
è vero che verificano i punti 2 e 3.
ma non sempre verificano il punto 1.
i controesempi sono [tex]$A=B\ \lor \ A\cap B=\emptyset$[/tex]
quindi avevi fatto tutto bene
P.S. benvenuta nel forum!
Sapere di essermi bloccata su qualcosa avendolo in verità risolto è una sensazione meravigliosa v.v
Grazie mille per l'aiuto e il tempo dedicatomi.
Grazie mille per l'aiuto e il tempo dedicatomi.
Prego, è un piacere!
una partizione può anche essere definita in termini di classi di equivalenza, giusto?
cioè se prendo la classe di equivalenza di $a$ in $A$ definita come l'insieme $[a]_R:={x in A|aRx}$
avrò che l'insieme delle classi di equivalenza $[a]_R$ costituisce una partizione di $A$ se
$1) [a]_R != O/$
$2) [a]_R!=_R rArr [a]_R nn _R = O/$
$3) uuu _(a in A) [a]_R = A$
ora, se presa una partizione $P$ dell'insieme $A$, cui posso associare una relazione $R_P$ su $A$ definita in questo modo:
$aR_Pb iff EEi in I(a in A_i ^^b in Ai)$
con $I$=insieme infinito di indici
devo dimostrare che, partendo da una relazione di equivalenza $R$ associo a questa una partizione $P$ e poi associao a tale partizione la relazione $R_P$, allora quest'ultima coincide con la reazione $R$ da cui si è partiti.
ma sinceramente non ho capito cosa significhi..
cioè se prendo la classe di equivalenza di $a$ in $A$ definita come l'insieme $[a]_R:={x in A|aRx}$
avrò che l'insieme delle classi di equivalenza $[a]_R$ costituisce una partizione di $A$ se
$1) [a]_R != O/$
$2) [a]_R!=_R rArr [a]_R nn _R = O/$
$3) uuu _(a in A) [a]_R = A$
ora, se presa una partizione $P$ dell'insieme $A$, cui posso associare una relazione $R_P$ su $A$ definita in questo modo:
$aR_Pb iff EEi in I(a in A_i ^^b in Ai)$
con $I$=insieme infinito di indici
devo dimostrare che, partendo da una relazione di equivalenza $R$ associo a questa una partizione $P$ e poi associao a tale partizione la relazione $R_P$, allora quest'ultima coincide con la reazione $R$ da cui si è partiti.
ma sinceramente non ho capito cosa significhi..
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