Partizioni di insiemi

NewNovak
Ciao e un grazie anticipato a chi, molto probabilmente in un secondo, troverà l'ovvietà che mi ha bloccato.
Sono nuova e spero di non commettere "guai" già alla mia prima interazione con il forum. :roll:

L'esercizio si presenta come segue:
Dati due insiemi A e B. Si dimostri che

{ A\B , B\A , $ A nn B $} è una partizione di $ A uu B $.

Quindi, se non sbaglio, devo provare che le tre condizioni di una partizione di insieme sono verificate per l'insieme dato, che chiamo W per comodità, ovvero
1- $ O/ !in $ W;
2- $ uuu W = A uu B$;
3- $AA X,Y in W$ e $X != Y$ , allora $X nn Y = O/$.

Ho dimostrato (quasi) senza problemi che W rispetta i punti 2 e 3, ma per il punto 1 ho qualche difficoltà.

Nel testo del problema non ho informazioni sui due insiemi A e B e nel caso in cui:
- A e B siano disgiunti allora per definizio avrei A $ nn $ B $=$ $ O/$
oppure
- A = B e allora avrei A\B$=$ $ O/$ e B\A$=$ $ O/$.
e non avrei verificato il punto 1.

O sbaglio? :?

Scusate il disturbo.

Risposte
blackbishop13
prima diamo una definizione di partizione più rigorosa di quella che hai scritto tu, hai fatto un po' di confusione, ma sarà il primo messaggio :wink:

prendiamo per definizione quella di wiki: http://it.wikipedia.org/wiki/Partizione ... li_insiemi)

ora noi abbiamo come insieme di partenza [tex]$X=A\cup B$[/tex] e come partizione proposta [tex]P=\left\{ A\setminus B\ ;\ B \setminus A\ ;\ A\cap B \right\}$[/tex]

è vero che verificano i punti 2 e 3.
ma non sempre verificano il punto 1.

i controesempi sono [tex]$A=B\ \lor \ A\cap B=\emptyset$[/tex]

quindi avevi fatto tutto bene

P.S. benvenuta nel forum!

NewNovak
Sapere di essermi bloccata su qualcosa avendolo in verità risolto è una sensazione meravigliosa v.v
Grazie mille per l'aiuto e il tempo dedicatomi. :)

blackbishop13
Prego, è un piacere!

Tagliafico
una partizione può anche essere definita in termini di classi di equivalenza, giusto?
cioè se prendo la classe di equivalenza di $a$ in $A$ definita come l'insieme $[a]_R:={x in A|aRx}$
avrò che l'insieme delle classi di equivalenza $[a]_R$ costituisce una partizione di $A$ se
$1) [a]_R != O/$
$2) [a]_R!=_R rArr [a]_R nn _R = O/$
$3) uuu _(a in A) [a]_R = A$

ora, se presa una partizione $P$ dell'insieme $A$, cui posso associare una relazione $R_P$ su $A$ definita in questo modo:
$aR_Pb iff EEi in I(a in A_i ^^b in Ai)$

con $I$=insieme infinito di indici

devo dimostrare che, partendo da una relazione di equivalenza $R$ associo a questa una partizione $P$ e poi associao a tale partizione la relazione $R_P$, allora quest'ultima coincide con la reazione $R$ da cui si è partiti.

ma sinceramente non ho capito cosa significhi..

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