[P. Induzione] Sommatoria Con Disuguaglianza
Buonasera a tutta la fantastica community! 
Stò cercando di risolvere il seguente esercizio:
[size=150]Dimostrare che $ \forall n >= 1 $ si ha
$ sum_(k=1)^(n)1/sqrt(k) >= sqrt(n) $
[/size]
Il funzionamento delle dimostrazioni utilizzando il principio di induzione mi è abbastanza chiaro. Ho gia fatto numerosi esercizi sull'argomento, però tutti erano con uguaglianze, e non con disuguaglianze. Questo è proprio il primo esercizio che mi è capitato di questa serie. Vi illustro come ho cercato di risolvere io il problema.
Procedo in ordine in modo da essere il più chiaro possibile
Ultimamente invece ho pensato di procedere così, ma visto che il libro non mi da una soluzione non so se sia legittima.
E' accittabile la dimostrazione invece fatta in questo modo?
Se io dimostrassi che $ sqrt(n) + 1/sqrt(n+1) >= sqrt(n+1)$ andrebbe bene?
Mi spiego meglio, dato che :
$1) sum_(k=1)^(n)1/sqrt(k) >= sqrt(n) $
$2) sum_(k=1)^(n+1)1/sqrt(k)= (sum_(k=1)^(n)1/sqrt(k)) + 1/sqrt(n+1) >= sqrt(n+1) $
allora mi aspetto che l'elemento $ sqrt(n+1) $ sia più piccolo o uguale a $ sqrt(n) + 1/sqrt(n+1) $
Procedendo, con pochi passaggi otterrei
$ sqrt(n)+1/sqrt(n+1) >= sqrt(n+1)hArr (sqrt(n^2+n)+1)/sqrt(n+1) >= (n+1)/sqrt(n+1)hArr sqrt(n^2+n)>=n hArr n^2+n>=n^2 hArr n>=0 $
E questo è vero $ AA n>=1 $
Dato che l'esercizio diceva di considerare $ n>=1 $, è corretto reputare dimostrata la formula?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto!
Spero di aver fatto tutto secondo regolamento, se ho infranto qualche regola non l'ho fatto intenzionalmente
Ciao
Stò cercando di risolvere il seguente esercizio:
[size=150]Dimostrare che $ \forall n >= 1 $ si ha
$ sum_(k=1)^(n)1/sqrt(k) >= sqrt(n) $
[/size]
Il funzionamento delle dimostrazioni utilizzando il principio di induzione mi è abbastanza chiaro. Ho gia fatto numerosi esercizi sull'argomento, però tutti erano con uguaglianze, e non con disuguaglianze. Questo è proprio il primo esercizio che mi è capitato di questa serie. Vi illustro come ho cercato di risolvere io il problema.
Procedo in ordine in modo da essere il più chiaro possibile
Ultimamente invece ho pensato di procedere così, ma visto che il libro non mi da una soluzione non so se sia legittima.
E' accittabile la dimostrazione invece fatta in questo modo?
Se io dimostrassi che $ sqrt(n) + 1/sqrt(n+1) >= sqrt(n+1)$ andrebbe bene?
Mi spiego meglio, dato che :
$1) sum_(k=1)^(n)1/sqrt(k) >= sqrt(n) $
$2) sum_(k=1)^(n+1)1/sqrt(k)= (sum_(k=1)^(n)1/sqrt(k)) + 1/sqrt(n+1) >= sqrt(n+1) $
allora mi aspetto che l'elemento $ sqrt(n+1) $ sia più piccolo o uguale a $ sqrt(n) + 1/sqrt(n+1) $
Procedendo, con pochi passaggi otterrei
$ sqrt(n)+1/sqrt(n+1) >= sqrt(n+1)hArr (sqrt(n^2+n)+1)/sqrt(n+1) >= (n+1)/sqrt(n+1)hArr sqrt(n^2+n)>=n hArr n^2+n>=n^2 hArr n>=0 $
E questo è vero $ AA n>=1 $
Dato che l'esercizio diceva di considerare $ n>=1 $, è corretto reputare dimostrata la formula?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto!
Spero di aver fatto tutto secondo regolamento, se ho infranto qualche regola non l'ho fatto intenzionalmente
Ciao
Risposte
Tutto giusto. Ciao!
"Martino":
Tutto giusto. Ciao!
Grazie Mille
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