[P. Induzione] Esistenza Numeri Primi

Dr. Akim · 2016-04-16CEST13:14:04+02:00

"Buongiorno a tutta la Community \n\nHo bisogno di aiuto nel risolvere questo problema, non so veramente dove andare a parare!\nIl testo \u00e8 il seguente\n[size=150]\nDimostrare che per ogni $ n $ intero positivo, esistono almeno $ n $ numeri primi distinti che dividono il numero $ 2^(2^n)-1 $ .[\//size]\n\nSono partito come sempre\n $ P(1): 2^2-1 =3 $ Vera, in quanto pu\u00f2 essere diviso per $ 3 $ \n\nIpotesi Induttiva\n $ P(n):2^(2^n)-1 rArr P(n+1):2^(2^(n+1))-1 $ Sia divisibile per almeno $ n+1 $ numeri primi distinti.\n\nPasso Induttivo\nHo scritto la proposizione come differenza di quadrati\n $ (2^(2^(n+1))-1) = (2^(2^(n))-1)(2^(2^n)+1) $ \n\nPer ipotesi induttiva so che $ (2^(2^(n))-1) $ \u00e8 divisibile per $ n $ numeri primi, per\u00f2 non so come continuare la dimostrazione! \n\nQualcuno ha qualche idea? Qualunque parere \u00e8 ben accetto!\n\nGrazie Mille! "

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Dr. Akim

16 apr 2016, 13:14

Buongiorno a tutta la Community

Ho bisogno di aiuto nel risolvere questo problema, non so veramente dove andare a parare!
Il testo è il seguente
[size=150]
Dimostrare che per ogni $ n $ intero positivo, esistono almeno $ n $ numeri primi distinti che dividono il numero $ 2^(2^n)-1 $ .[/size]

Sono partito come sempre
$ P(1): 2^2-1 =3 $ Vera, in quanto può essere diviso per $ 3 $

Ipotesi Induttiva
$ P(n):2^(2^n)-1 rArr P(n+1):2^(2^(n+1))-1 $ Sia divisibile per almeno $ n+1 $ numeri primi distinti.

Passo Induttivo
Ho scritto la proposizione come differenza di quadrati
$ (2^(2^(n+1))-1) = (2^(2^(n))-1)(2^(2^n)+1) $

Per ipotesi induttiva so che $ (2^(2^(n))-1) $ è divisibile per $ n $ numeri primi, però non so come continuare la dimostrazione!

Qualcuno ha qualche idea? Qualunque parere è ben accetto!

Grazie Mille!

Risposte

G.D.5

16 apr 2016, 12:56

Molto semplicemente: giunto a $ \bigl ( 2^{2^{n +1}} - 1 \bigr ) = \bigl ( 2^{2^{n}} - 1 \bigr ) \bigl ( 2^{2^{n}} + 1 \bigr ) $, l'ipotesi induttiva su $ 2^{2^{n}} - 1 $ ti assicura che ci sono almeno $ n $ divisori primi proprio in $ 2^{2^{n}} - 1 $ e quindi in $ 2^{2^{n+1}} - 1 $, inoltre o $ 2^{2^{n}} + 1 $ è un numero primo e quindi in $ 2^{2^{n+1}} - 1 $ ci sono a questo punto almeno $ n + 1 $ divisori primi oppure $ 2^{2^{n}} + 1 $ è composto e quindi a fortiori in $ 2^{2^{n+1}} - 1 $ ci sono almeno $ n + 1 $ divisori primi.

Dr. Akim

18 apr 2016, 18:01

"G.D.":
Molto semplicemente: giunto a $ \bigl ( 2^{2^{n +1}} - 1 \bigr ) = \bigl ( 2^{2^{n}} - 1 \bigr ) \bigl ( 2^{2^{n}} + 1 \bigr ) $, l'ipotesi induttiva su $ 2^{2^{n}} - 1 $ ti assicura che ci sono almeno $ n $ divisori primi proprio in $ 2^{2^{n}} - 1 $ e quindi in $ 2^{2^{n+1}} - 1 $, inoltre o $ 2^{2^{n}} + 1 $ è un numero primo e quindi in $ 2^{2^{n+1}} - 1 $ ci sono a questo punto almeno $ n + 1 $ divisori primi oppure $ 2^{2^{n}} + 1 $ è composto e quindi a fortiori in $ 2^{2^{n+1}} - 1 $ ci sono almeno $ n + 1 $ divisori primi.

Grazie mille, gentilissimo!

(Scusa il ritardo!)

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