P-gruppo e sottogruppo normale
E' vero che se un gruppo $G$ ha ordine $p^n$ ogni suo sottogruppo di ordine $p^(n-1)$ è normale?
Non riesco a dimostrarlo, nè a trovare controesempi...
Non riesco a dimostrarlo, nè a trovare controesempi...
Risposte
Sì è vero. Prova a dimostrarlo per induzione su [tex]n[/tex], usando il fatto che i [tex]p[/tex]-gruppi finiti hanno centro non banale.
Allora... La base dell'induzione ($n=1$) è verificata in quanto un gruppo di ordine $p$ ha come unico sottogruppo l'identità che è normale
(Ora suppongo $G$ non abeliano - il caso abeliano è banale)
Poichè $G$ è un $p$-gruppo finito, $|Z(G)|\ne1$ (in particolare è potenza di $p$ - facciamo $p^h$ , $0
ora ho un po' di problemi:
(i) Avrei in mente di sfruttare la corrispondenza biunivoca tra sottogruppi di $G$ che contengono $Z(G)$ e sottogruppi di $G/{Z(G)}$ (che tra parentesi manda sottogruppi normali in sottogruppi normali), ma se non è vero che un sottogruppo di $G$ di ordine $p^{n-1}$ contiene il centro non so che farmene!
(ii) Se non esistesse alcun sottogruppo di $Z/{Z(G)}$ di ordine $p^{n-h-1}$ tutto ciò non funziona poichè non ho nulla da proiettare all'indietro (conosco un lemmino che mi assicura l'esistenza di tale gruppo, ma se possibile non vorrei usarlo).
(iii) Non sono tanto sicuro che proiettando all'indietro un sottogruppo di indice $p$ in $Z/{Z(G)}$ ottengo un sottogruppo di indice $p$ in $G$.
Grazie a chi avrà la pazienza di leggere!!
(Ora suppongo $G$ non abeliano - il caso abeliano è banale)
Poichè $G$ è un $p$-gruppo finito, $|Z(G)|\ne1$ (in particolare è potenza di $p$ - facciamo $p^h$ , $0
ora ho un po' di problemi:
(i) Avrei in mente di sfruttare la corrispondenza biunivoca tra sottogruppi di $G$ che contengono $Z(G)$ e sottogruppi di $G/{Z(G)}$ (che tra parentesi manda sottogruppi normali in sottogruppi normali), ma se non è vero che un sottogruppo di $G$ di ordine $p^{n-1}$ contiene il centro non so che farmene!
(ii) Se non esistesse alcun sottogruppo di $Z/{Z(G)}$ di ordine $p^{n-h-1}$ tutto ciò non funziona poichè non ho nulla da proiettare all'indietro (conosco un lemmino che mi assicura l'esistenza di tale gruppo, ma se possibile non vorrei usarlo).
(iii) Non sono tanto sicuro che proiettando all'indietro un sottogruppo di indice $p$ in $Z/{Z(G)}$ ottengo un sottogruppo di indice $p$ in $G$.
Grazie a chi avrà la pazienza di leggere!!
Bene, le idee che hai sono buone.
Prendi un gruppo [tex]G[/tex] di ordine [tex]p^n[/tex] e un suo sottogruppo [tex]H[/tex] di ordine [tex]p^{n-1}[/tex].
Se [tex]H[/tex] contiene [tex]Z(G)[/tex] allora guardi a [tex]G/Z(G)[/tex] e sei a posto, concordi?
Bene, quindi puoi supporre che [tex]H[/tex] non contenga [tex]Z(G)[/tex]. Vuoi dimostrare che [tex]H[/tex] è normale in [tex]G[/tex]. Ora il suggerimento è considerare il sottogruppo [tex]H \cdot Z(G)[/tex].
Prendi un gruppo [tex]G[/tex] di ordine [tex]p^n[/tex] e un suo sottogruppo [tex]H[/tex] di ordine [tex]p^{n-1}[/tex].
Se [tex]H[/tex] contiene [tex]Z(G)[/tex] allora guardi a [tex]G/Z(G)[/tex] e sei a posto, concordi?
Bene, quindi puoi supporre che [tex]H[/tex] non contenga [tex]Z(G)[/tex]. Vuoi dimostrare che [tex]H[/tex] è normale in [tex]G[/tex]. Ora il suggerimento è considerare il sottogruppo [tex]H \cdot Z(G)[/tex].
Supponiamo che $Z(G)$ non sia contenuto in $H$; allora necessariamente si ha $HZ(G)=G$ (per Lagrange) e quindi dalla formula $|HZ(G)|=\frac{|H||Z(G)|}{|H\capZ(G)|}$ deduco che $\frac{|Z(G)|}{|H\capZ(G)|}=p$, ovvero $[Z(G):H\capZ(G)]=p$.
Queste sono le uniche cose che mi viene in mente di fare... C'è qualcosa in tutto ciò che mi ricorda il secondo teorema di isomorfismo, ma non saprei come applicarlo! Come continuo? Non riesco a capire cosa sfruttare per dimostrare la nrmalità di H!
Queste sono le uniche cose che mi viene in mente di fare... C'è qualcosa in tutto ciò che mi ricorda il secondo teorema di isomorfismo, ma non saprei come applicarlo! Come continuo? Non riesco a capire cosa sfruttare per dimostrare la nrmalità di H!
"ale.b":Esatto. Significa che ogni elemento di [tex]G[/tex] è della forma [tex]h \cdot z[/tex] con [tex]h \in H[/tex] e [tex]z \in Z(G)[/tex]. Ora, tu devi dimostrare che [tex]H[/tex] è normale, cioè che per ogni [tex]g \in G[/tex] si ha [tex]gHg^{-1} = H[/tex]. Ma questo [tex]g[/tex] si scrive come [tex]h \cdot z[/tex] ...
Supponiamo che $Z(G)$ non sia contenuto in $H$; allora necessariamente si ha $HZ(G)=G$ (per Lagrange)
Sì, alla fine mi sono perso in un bicchiere d'acqua! Da lì è sufficiente osservare che $z$ commuta con tutto per concludere che $gHg^(-1)\subseteqH$ $\forallg\inG$.
Ti ringrazio davvero, sei stato molto gentile!
Ti ringrazio davvero, sei stato molto gentile!
Prego 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo