P-gruppi non nilpotenti

[Studente Anonimo]

Un gruppo [tex]G[/tex] si dice nilpotente se esiste una sequenza di sottogruppi

[tex]\{1\} = N_0 \leq N_1 \leq ... \leq N_k = G[/tex]

tale che [tex]N_i \unlhd G[/tex] per ogni [tex]i \in \{1,...,k\}[/tex] e [tex]N_{i+1}/N_i[/tex] è contenuto nel centro di [tex]G/N_i[/tex] per ogni [tex]i \in \{0,...,k-1\}[/tex].

Qui ho raccolto alcune proprietà basilari dei gruppi nilpotenti.

Dato un primo [tex]p[/tex], un gruppo [tex]G[/tex] è detto [tex]p[/tex]-gruppo se ogni elemento di [tex]G[/tex] ha per ordine una potenza di [tex]p[/tex]. Se [tex]G[/tex] è finito, il teorema di Lagrange e il teorema di Cauchy implicano che [tex]G[/tex] è un [tex]p[/tex]-gruppo se e solo se l'ordine di [tex]G[/tex] è una potenza di [tex]p[/tex].

E' facile dedurre dal seguente fatto classico che ogni p-gruppo finito è nilpotente.

Fatto. Se [tex]G[/tex] è un [tex]p[/tex]-gruppo finito allora ha centro non banale: [tex]Z(G) \neq \{1\}[/tex].

Propongo di esibire un esempio di [tex]p[/tex]-gruppo infinito non nilpotente!
Non ne ho tanti in mente, sarebbe bello produrne di facili da capire.

[j18eos]

Io conosco un solo esempio di \(p\)-gruppo infinito non nilpotente, ma non è di facile costruzione dato che si utilizza il prodotto intrecciato di \(\mathbb{Z}_p\) e \(Z(p^{\infty})\); però è facile verificare che così si ottiene un \(p\)-gruppo infinito a centro identico!

Se vuoi domani scriverò i dettagli!

[Studente Anonimo]

Se vuoi scrivere i dettagli mi fa piacere