P-gruppi e normalizzatore

[ale.b14]

Ho bisogno di un aiutino per digerire una dimostrazione dal Rotman:

http://imageshack.us/f/232/immaginewq.jpg

Alla quarta riga afferma che l'orbita $G.H$ ha cardinalità $1$. A me non è chiaro il motivo! Visto che $H$ non è normale perchè non esiste nessun elemento di $G$ che coniuga $H$ in qualche altro sottogruppo?
Grazie in anticipo!

[vict85]

Pensandoci penso che ci sia semplicemente un errore di battitura. È \(\displaystyle H \) che agisce su \(\displaystyle X \). Infatti, in tal caso, essendo anche \(\displaystyle H \) un \(\displaystyle p \)-gruppo, si devono avere anche in questo caso orbite di cardinalità multipli di \(\displaystyle p \). Siccome \(\displaystyle |X| = p^s \) per qualche \(\displaystyle s>0 \), allora \(\displaystyle H \) non può essere l'unico elemento di \(\displaystyle X \) mandato in se dall'azione di \(\displaystyle H \) su \(\displaystyle X \) (che \(\displaystyle H \) sia fissato è semplicemente una conseguenza del fatto che \(\displaystyle H \) è un sottogruppo). A questo punto prendi un altro elemento di \(\displaystyle gHg^{-1} \in X \) che sia fissato dall'azione di \(\displaystyle H \). A questo punto tutto va avanti come scritto da Rotman.