P-cicli e sottogruppi di ordine p di Sp

[Mrhaha]

Salve ragazzi!
Non capisco perchè il numero dei p-cicli si $Sp$ è $(p-1)!$,e perchè i sottogruppi di ordine p sono $(p-2)!$.
Ho pensato che riguardo al primo dubbio io tolgo le ripetizioni,che sono $p$ giusto?
Ma del secondo non so cosa pensare!

[maurer]

E' puro e semplice calcolo combinatorio. Ci sono [tex]p![/tex] modi di disporre [tex]p[/tex] oggetti in fila. Poi due file sono equivalenti se una è ottenuta dall'altra traslando modulo p i suoi elementi. Siccome ogni disposizione ne ha [tex]p[/tex] equivalenti, abbiamo un totale di [tex](p-1)![/tex] p-cicli.

Per quanto riguarda i sottogruppi di ordine p, osserva che questi sono tutti ciclici e che un generatore deve avere periodo [tex]p[/tex]. Pertanto ogni sottogruppo di ordine p è generato da un p-ciclo e, viceversa, un p-ciclo genera un sottogruppo di ordine p. Devi chiederti: quando due p-cicli generano lo stesso sottogruppo? Evidentemente [tex]\langle \sigma \rangle = \langle \tau \rangle[/tex] (dove [tex]\sigma[/tex] e [tex]\tau[/tex] sono p-cicli) vale se e solo se [tex]\tau = \sigma^k[/tex] con [tex]k \in \{1, 2, \ldots, p-1\}[/tex] (perché?). Pertanto per ogni p-ciclo ce ne sono p-1 che generano lo stesso sottogruppo. Quindi in totale abbiamo [tex]\displaystyle (p-2)! = \frac{(p-1)!}{p-1}[/tex].

[Mrhaha]

Chiarissimo! Grazie!