Ottenere un quadrato perfetto
Dato $n in NN_0$ come faccio a trovare gli n tali che $n^2 + 8n - 16=(m)^2$ con $m in NN_0$?
più che la risoluzione dell'esercizio vorrei avere un suggerimento sul metodo da seguire, perchè non ho proprio idee.
Comunque se può servire, ho trovato (un po per caso) le soluzioni $n=2$ e $n=5$. c'è un modo per sapere se ce ne sono altre, e magari determinarle?
più che la risoluzione dell'esercizio vorrei avere un suggerimento sul metodo da seguire, perchè non ho proprio idee.
Comunque se può servire, ho trovato (un po per caso) le soluzioni $n=2$ e $n=5$. c'è un modo per sapere se ce ne sono altre, e magari determinarle?
Risposte
Ciao!
Una prima cosa da fare è "completare il quadrato" a sinistra, scrivere cioè
$n^2+8n = (n+4)^2-16$.
Ti riduci ad un'equazione del tipo $a^2-b^2=32$, che dovrebbe risultarti più semplice da risolvere.
Una prima cosa da fare è "completare il quadrato" a sinistra, scrivere cioè
$n^2+8n = (n+4)^2-16$.
Ti riduci ad un'equazione del tipo $a^2-b^2=32$, che dovrebbe risultarti più semplice da risolvere.
ok, grazie.
adesso ho ricavato da $(n+4)^2 - c^2=32$ che
se $n+4>16$ ovvero se $n>12$ -> $\nexists c$
perchè se scrivo in ordine i quadrati dei numeri naturali, da 17 in poi la distanza tra uno e l'altro è maggiore di 32.
quindi provo con tutti gli n $4
è corretto?
adesso ho ricavato da $(n+4)^2 - c^2=32$ che
se $n+4>16$ ovvero se $n>12$ -> $\nexists c$
perchè se scrivo in ordine i quadrati dei numeri naturali, da 17 in poi la distanza tra uno e l'altro è maggiore di 32.
quindi provo con tutti gli n $4
è corretto?
Giusto.
Se vuoi puoi cercare anche le due soluzioni negative.
Puoi partire dalla riscrittura $(n+4-m)(n+4+m)=32$.
Se vuoi puoi cercare anche le due soluzioni negative.
Puoi partire dalla riscrittura $(n+4-m)(n+4+m)=32$.
per le soluzioni negative, o come suggerisci tu, oppure anche ponendo $n^2 +8n - 16>0$ che è necessario per poterlo confrontare con un quadrato
e ottengo $n<-9$ $vv$ $n>1$ e poi le soluzioni negative sono alla stessa distanza da -9 rispetto alle soluzioni positive da 1
ovvero una volta trovati $n=2$ $vv$ $n=5$
ricaverò $n=-10$ $vv$ $n=-13$
che è poi un po come il procedimento che hai indicato tu, che è anche piu ortodosso.
Grazie per l'aiuto!
e ottengo $n<-9$ $vv$ $n>1$ e poi le soluzioni negative sono alla stessa distanza da -9 rispetto alle soluzioni positive da 1
ovvero una volta trovati $n=2$ $vv$ $n=5$
ricaverò $n=-10$ $vv$ $n=-13$
che è poi un po come il procedimento che hai indicato tu, che è anche piu ortodosso.
Grazie per l'aiuto!
"blackbishop13":Prego
Grazie per l'aiuto!
Comunque vedo che te la cavi benissimo! Secondo me potevi risolvere questo problema anche senza suggerimenti.
Rimarco solo una cosa: dal mio ultimo intervento puoi dedurre che il problema scremato dei vari fronzoli (che servono a buttare fumo negli occhi) è:
"trovare gli interi $A$ e $B$ tali che $AB=32$".
Il problema è quindi equivalente a trovare tutte le possibili fattorizzazioni di $32$ con due interi.
In particolare si tratta di un problema banale
"Martino":
Comunque vedo che te la cavi benissimo! Secondo me potevi risolvere questo problema anche senza suggerimenti.
Grazie mille!
sì forse ce l'avrei fatta, ma mi sarebbe probabilmente servito un bel po di tempo per pensare al metodo di completamento al quadrato, il tuo suggerimento mi è molto servito per cambiare approccio al problema.
è molto interessante poi la scomposizione della differenza di quadrati perchè permette di risolvere anche esercizi simili in cui il coefficiente del termine di primo grado è dispari (che era quello a cui stavo adesso pensando), e bisogna quindi introdurre le frazioni per ottenere il doppio prodotto.
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