Oridine del prodotto in un gruppo abeliano

[fransis2]

mi aiutereste a dimostrare questo lemmino? in un gruppo abeliano siano dati 2 elementi a, b. Sia x l'ordine di a e sia y l'ordine di b. Allora l'ordine di a*b è divisibile per m.c.m(x,y)/M.C.D(x,y)

[Thomas16]

uuuu......... forse a questo ci arrivo.....Tratto solo il caso a diverso da b (anzi magari funzia anche se a=b), inoltre mi rendo conto che specialmente nella fine la dimostrazione è un pò fumosa... vedete voi se l'idea funziona... visto che finora non ne ho azzeccata una di dimostrazione di algebra forse è meglio se qualcuno la controlla

1)
Supponiamo valga $\cap$$=$${e}$. In tal caso essendo questi sottoinsieme normali ad intersezione nulla $AB$ è isomorfo ad $AxB$ e visto che $o(ab)=mcm(o(a),o(b))$ con gli ordini presi negli insiemi corretti si ha $o(ab)=mcm(x,y) $ e la tesi è banalmente verificata.

2) In caso contrario sia $\cap$$=$$H$. Quozientiamo rispetto ad $H$. sia $\pi:G->G/H$ la proiezione canonica. Chiamo $A$ e $B$ i sottoinsiemi generati.

- Vale che $\pi(A)$ è ciclico generato da $\pi(a)$ e analogamente per $B$.

- Ora non vorrei dire castroneria ma se restringiamo per esempio la proiezione ad $A$ otteniamo che $|\pi(A)|=|A|/|H|$. Dicendolo in altro modo visto che $A$ è abeliano le classi lateriali rispetto ad $H$ o sono contenute tutte in $A$ oppure sono fuori, da cui la conclusione.

Le ultime due osservazioni ci dicono che $o(\pi(a))=(o(A))/(o(H))$, visto che $\pi(a)$ genera un sottogruppo di cui sappiamo l'ordine.

analogamente $o(\pi(b))=(o(B))/(o(H))$

Inoltre nel quoziente siamo nella situazione (1) e quindi vale

$o(\pi(a)\pi(b))=mcm(o(\pi(a),o(\pi(b))=mcm(x/(|H|),y/(|H|))=mcm( (xT)/(mcd(x,y))), (yT)/(mcd(x,y)))$

dove si è usato che $|H|$ divide il mcd tra $x$ ed $y$ e si è quindi introdotta la costante $T$, dato che divide entrambi. Ora usando che

- $o(\pi(f))|o(f)$;

-$mcm(a,b)|mcm(ax,bx)$;

e cercando di giustificare che si può portare fuori il mcd comune dall'mcm in qualche modo (qui lascio fare a voi, ma si potrà fare, vero?) si ha la conclusione.

valida per ogni f e per ogni numero naturale si conclude