Ordine moltiplicativo in un gruppo
$ 17 $Ciao a tutti, ho il seguente esercizio sui gruppi:
"Qual è l’ordine (moltiplicativo) di $15$ in $(Z//221)^×$?"
Per questi tipi di esercizi non saprei proprio come proseguire, il professore ci ha dato un suggerimento cioè quello di usare il teorema cinese del resto, quindi l'unica cosa che mi viene in mente è quello di dividere $221$ in numeri primi e cioè quindi $13$ e $17$ però poi,ammesso sia giusto questo passaggio, non so come continuare.
Mi potreste aiutare?
Vi ringrazio molto anticipatamente
"Qual è l’ordine (moltiplicativo) di $15$ in $(Z//221)^×$?"
Per questi tipi di esercizi non saprei proprio come proseguire, il professore ci ha dato un suggerimento cioè quello di usare il teorema cinese del resto, quindi l'unica cosa che mi viene in mente è quello di dividere $221$ in numeri primi e cioè quindi $13$ e $17$ però poi,ammesso sia giusto questo passaggio, non so come continuare.
Mi potreste aiutare?
Vi ringrazio molto anticipatamente
Risposte
Qual è l'ordine di $ZZ_{221}^{×}$ (non è $221$)?
scusa non ho capito la tua domanda? quindi non centra nulla il teorema cinese del resto?
Prima rispondi alla domanda... Qual è l'ordine ???
220?
Si se fosse un numero primo ma $221$ non è un numero primo, quindi...
@dan95 : è inutile che glielo chiedi, se lo avesse saputo lo avrebbe detto subito. L'ordine è \(\varphi(221) = \varphi(13)\varphi(17) = 12\times 16 = 192\) (dove \(\varphi\) è la funzione di Eulero). Tra l'altro se non sa questo dubito che sappia rispondere all'esercizio.
@akkappa : è evidente che o non hai capito quello che hai studiato oppure stai facendo esercizi prima di studiare la teoria. In ogni caso ti suggerisco di metterti a riguardarti le cose e ti tornare agli esercizi quando ci avrai capito un po' di più. In generale noto una estrema confusione sulle definizioni e una quantità notevole di lacune. In queste condizioni, non ti saremmo di particolare aiuto neanche se ti dicessimo come si fa.
Comunque su cosa studi? Forse è il materiale su cui stai studiando che non è particolarmente chiaro.
@akkappa : è evidente che o non hai capito quello che hai studiato oppure stai facendo esercizi prima di studiare la teoria. In ogni caso ti suggerisco di metterti a riguardarti le cose e ti tornare agli esercizi quando ci avrai capito un po' di più. In generale noto una estrema confusione sulle definizioni e una quantità notevole di lacune. In queste condizioni, non ti saremmo di particolare aiuto neanche se ti dicessimo come si fa.
Comunque su cosa studi? Forse è il materiale su cui stai studiando che non è particolarmente chiaro.
@vict
Lo volevo invogliare/costringere a cercare sul libro
Lo volevo invogliare/costringere a cercare sul libro
Si vi chiedo scusa per avervi fatto perdere tempo inutilmente solo che pensavo servisse solo il teorema cinese del resto e non avevo studiato altro. Oggi pomeriggio mi sono messo a studiare il resto ed ho capito il passaggio della funzione di Eulero.
Ora però mi sono sempre bloccato.
Vi ringrazio per l'aiuto e disponibilità
Ora però mi sono sempre bloccato.
Vi ringrazio per l'aiuto e disponibilità
L'elemento può avere solo particolari ordini (non proprio pochissimi in realtà). Quindi ti è sufficiente fare i calcoli. Il teorema cinese del resto si usa quando hai più di una equazione congruenziale (lineare).
la tua prima frase mi fa venire in mente il teorema di Lagrange. Sto sulla giusta strada?
Non posso non ricordarti che una discussione simile l'avevano già fatta
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=149875
@vict
Se non ricordo male c'è un corollario (di un'altra versione ) del teorema cinese del resto che recita:
Nel nostro caso $ZZ_{221}^{×}~=ZZ_{13}^{×}×ZZ_{17}^{×}$, dunque abbiamo tre possibilità: $o(15)|\varphi(13)=12$ , $o(15)|\varphi(17)=16$ o $o(15)=m.c.m(\varphi(13),\varphi(17))=48$
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=149875
@vict
Se non ricordo male c'è un corollario (di un'altra versione ) del teorema cinese del resto che recita:
Se $MCD(n_i,n_j)=1$ allora $\ZZ_{n_1n_2\cdots n_k}^{×} ~=\ZZ_{n_1}^{×}×\ZZ_{n_2}^{×}×\cdots ×\ZZ_{n_k}^{×}$
Nel nostro caso $ZZ_{221}^{×}~=ZZ_{13}^{×}×ZZ_{17}^{×}$, dunque abbiamo tre possibilità: $o(15)|\varphi(13)=12$ , $o(15)|\varphi(17)=16$ o $o(15)=m.c.m(\varphi(13),\varphi(17))=48$
Per questioni strane relative al mio curriculum studiorum un po' atipico, l'esame che trattava del teorema cinese del resto non ho mai dovuto darlo (la prima volta che l'ho incontrato era in termini di ideali di anelli). I miei primi esami di algebra erano molto più astratti e non interessandomi molto di insiemi numerici e anelli va bene così 
. Comunque mi sembra corretto. Non sono comunque pochissimi i numeri da testare.
. Comunque mi sembra corretto. Non sono comunque pochissimi i numeri da testare.
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