Ordine di un gruppo.

[anto_zoolander]

Wwwwwe.

Sia $G={((a,b),(c,d))inM_2(ZZ_p)|adnebc}$ un gruppo rispetto all'usuale prodotto matriciale(righe per colonne).
Dire che ordine ha $G$.

Allora sono arrivato a un fine, ma in maniera un po' contorta e spero qualcuno possa darmi altre strade.

Considero $H={((a,b),(c,d))inM_2(ZZ_p)|a,b,c,d inZZ_p}$
Ora $|H|=p^4$ poiché posso disporre con ripetizione $p$ elementi in ogni entrata.

Ora tutte le matrici del tipo $((a,b),(c,d))$ possono avere determinante nullo o non nullo.
Chiamo $G$(quello già dato) l'insieme delle matrici con determinante non nullo
Chiamo $G'$ l'insieme delle matrici con determinante nullo(e lavoro su questo)

Dunque $H=GcupG'=|G|+|G'|-|GcapG'|$

Sia ora $AinGcapG'=>det(A)=0 wedge det(A)ne0$ ma essendo $det(A)$ un reale, questo non è possibile, dunque l'intersezione è vuota.

Da cui $|G|=|H|-|G'|=p^4-|G'|$

Ora sposto il problema allo studio del seguente insieme
$G'={((a,b),(c,d))inM_2(ZZ_p)|ad=bc}$

Il seguente insieme lo scompongo in ulteriori due insiemi
$P={((0,b),(c,d))inM_2(ZZ_p):dinZZ_p,bc=0}$
$Q={((a,b),(c,((bc)/a)))inM_2(ZZ_p):ane0wedgeb,cinZZ_p}$

L'intersezione è nulla, dunque $|G'|=|P|+|Q|$

Ora nel primo insieme:
Per fare $bc=0$ o sono entrambi $0$ o uno dei due lo è.
Questo poiché $p$ è primo e dunque $p$ è divisibile solo per $1,p$

dunque posso dare:
$p$ valori a $d$
Se fisso o $b$ o $c$ nulli l'altro potrà avere $p$ valori.
Dunque $p(2p-1)$ è il numero di elementi di $P$
Il $-1$ è dato dal fatto che conterei due volte la matrice in cui $b=c=0$

Nel secondo insieme:
Poiché il determinante è sempre nullo posso dare
$p-1$ valori ad $a$
$p$ valori a $b$
$p$ valori a $c$
Dunque $p^2(p-1)$ è il numero degli elementi di $Q$

Da cui $|G|=p^4-p^2(p-1)-p(2p-1)=p(p^3-p^2-p+1)$


Pareri?

[Studente Anonimo]

E' giusto.

C'è un modo più comodo di calcolare quel numero nella massima generalità, vedi qui.

[anto_zoolander]

Grazie Martino

Purtroppo l'Herstein da questi esercizi, bellissimi, ma senza soluzione.