Ordine di un elemento
Buondì ,come nell'immagine seguente, giustamente viene definito ordine di un elemento a, quel numero h tale che tutte le potenze fino ad h-1 , creano il sottogruppo generato da a. Ma allora cosa significa ad esempio in $ Gf(16)$ che l ordine di un elemento può essere 2,4,8,16 oppure essere un generatore? Non è gia un generatore ad esempio un elemento con ordine 16?
[xdom="vict85"]Non mettere immagini per descrivere cose ben conosciute come la definizione di ordine del gruppo.[/xdom]
[xdom="vict85"]Non mettere immagini per descrivere cose ben conosciute come la definizione di ordine del gruppo.[/xdom]
Risposte
Oppure si parla di generatore solo per il suo gruppo moltiplicativo GF(16)* con 15 elementi ?
Si, un generatore è un elemento che ha lo stesso ordine del gruppo. Il teorema a cui fai riferimento prende il nome di teorema di Lagrange, ma forse tu non l'hai ancora fatto. Lo trovi qui . Effettivamente un generatore del gruppo è un elemento il cui ordine coincide con l'ordine del gruppo.
Trovo personalmente che il comune modo di presentare questi argomenti produca più problemi che vantaggi.
Detto questo \(\displaystyle GF(16) \cong (\mathbb{Z}_2)^4\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4 \). Ogni elemento ha ordine additivo 2, insomma 2 è la caratteristica del campo. Pertanto la tua frase è sbagliata — sempre che tu con \(\displaystyle GF(16) \) intenda il gruppo additivo del campo di Galois (Galois Fields) di ordine \(\displaystyle 16 \). Nota che quel gruppo non possiede alcun generatore.
La tua frase è invece corretta in \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16} \cong \mathbb{Z}/16\mathbb{Z} \). Tra l'altro \(\displaystyle GF(16)^{\times} \) ha 15 elementi (è un campo), mentre \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\times} \) ne ha 8 (i numeri dispari). Questo, per il teorema di Lagrange, significa che gli elementi di \(\displaystyle GF(16)^{\times} \) diversi dall'identità (ovvero \(\displaystyle e = 1\times 1\times 1\times 1 \)) possono avere ordine \(\displaystyle 3 \), \(\displaystyle 5 \) e \(\displaystyle 15 \); mentre gli elementi di \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\times} \) diversi da \(\displaystyle 1 \) possono avere ordine \(\displaystyle 2 \), \(\displaystyle 4 \) o \(\displaystyle 8 \). Ovviamente non è detto che ci siano effettivamente elementi con quei particolari ordini, dovrei mettermi a fare i calcoli.
Trovo personalmente che il comune modo di presentare questi argomenti produca più problemi che vantaggi.
Detto questo \(\displaystyle GF(16) \cong (\mathbb{Z}_2)^4\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4 \). Ogni elemento ha ordine additivo 2, insomma 2 è la caratteristica del campo. Pertanto la tua frase è sbagliata — sempre che tu con \(\displaystyle GF(16) \) intenda il gruppo additivo del campo di Galois (Galois Fields) di ordine \(\displaystyle 16 \). Nota che quel gruppo non possiede alcun generatore.
La tua frase è invece corretta in \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16} \cong \mathbb{Z}/16\mathbb{Z} \). Tra l'altro \(\displaystyle GF(16)^{\times} \) ha 15 elementi (è un campo), mentre \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\times} \) ne ha 8 (i numeri dispari). Questo, per il teorema di Lagrange, significa che gli elementi di \(\displaystyle GF(16)^{\times} \) diversi dall'identità (ovvero \(\displaystyle e = 1\times 1\times 1\times 1 \)) possono avere ordine \(\displaystyle 3 \), \(\displaystyle 5 \) e \(\displaystyle 15 \); mentre gli elementi di \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\times} \) diversi da \(\displaystyle 1 \) possono avere ordine \(\displaystyle 2 \), \(\displaystyle 4 \) o \(\displaystyle 8 \). Ovviamente non è detto che ci siano effettivamente elementi con quei particolari ordini, dovrei mettermi a fare i calcoli.
Grazie per la risposta. Mi hai scritto che GF(16)* è un campo ... ma non è un gruppo essendo il gruppo moltiplicativo ?? 
Che poi alla fine io ho studiato l'ordine per quanto riguarda i gruppi, non dei campi...
Mi hai poi parlato di $Z_16*$ che non ho mai affrontato negli esercizi .
Che poi alla fine io ho studiato l'ordine per quanto riguarda i gruppi, non dei campi...
Mi hai poi parlato di $Z_16*$ che non ho mai affrontato negli esercizi .
Intendevo dire che \(GF(16)\) è un campo. In quanto campo, il suo gruppo moltiplicativo è composto da tutti i suoi elementi non nulli.
Davvero non hai mai visto \(\mathbb{Z}_{16}^{\ast}\) negli esercizi? Io invece avevo incontrato molto meno i campi finiti nella teoria dei gruppi e tutto sommato penso sia una buona cosa.
\(\displaystyle \mathbb{Z}_{16} \) è un anello ma non un campo. I suoi elementi pari (\(\displaystyle 2,4,6,8,10,12 \) e \(\displaystyle 14 \)) non possiedono un inverso moltiplicativo e quindi non appartengono a \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\ast} \). Pertanto \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\ast} \) possiede \(\displaystyle 8 \) elementi: \(\displaystyle 1,3,5,7,9,11 , 13\) e \(\displaystyle 15 \). Ovviamente \(\displaystyle 1 \) è l'elemento neutro.
Usando un teorema che sicuramente non hai mai visto (teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti) so che \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\ast} \) deve essere isomorfo ad uno di questi gruppi \(\displaystyle \mathbb{Z}_{8} \), \(\displaystyle \mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{2} \) o \(\displaystyle \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}\). Vediamo di scoprire quale.
Cominciamo con 3.
\(\displaystyle
\begin{align} 3^2 &\equiv 9 \pmod{16} \\
3^3 =27 &\equiv 11 \!\!\pmod{16}\\
9^2 = 81 &\equiv 1 \pmod{16} \end{align}\)
Ovvero \(\displaystyle 3 \) ha ordine \(\displaystyle 4 \), \(\displaystyle 9 \) ha ordine \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle \(\displaystyle 11 \) \) ha ordine \(\displaystyle 4 \) (è l'inverso moltiplicativo di 3).
Questo ci dice che \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\ast}\cong \mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{2} \). Se vuoi puoi calcolarti gli ordini di ogni altro elemento.
Davvero non hai mai visto \(\mathbb{Z}_{16}^{\ast}\) negli esercizi?
Io invece avevo incontrato molto meno i campi finiti nella teoria dei gruppi e tutto sommato penso sia una buona cosa.\(\displaystyle \mathbb{Z}_{16} \) è un anello ma non un campo. I suoi elementi pari (\(\displaystyle 2,4,6,8,10,12 \) e \(\displaystyle 14 \)) non possiedono un inverso moltiplicativo e quindi non appartengono a \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\ast} \). Pertanto \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\ast} \) possiede \(\displaystyle 8 \) elementi: \(\displaystyle 1,3,5,7,9,11 , 13\) e \(\displaystyle 15 \). Ovviamente \(\displaystyle 1 \) è l'elemento neutro.
Usando un teorema che sicuramente non hai mai visto (teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti) so che \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\ast} \) deve essere isomorfo ad uno di questi gruppi \(\displaystyle \mathbb{Z}_{8} \), \(\displaystyle \mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{2} \) o \(\displaystyle \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}\). Vediamo di scoprire quale.
Cominciamo con 3.
\(\displaystyle
\begin{align} 3^2 &\equiv 9 \pmod{16} \\
3^3 =27 &\equiv 11 \!\!\pmod{16}\\
9^2 = 81 &\equiv 1 \pmod{16} \end{align}\)
Ovvero \(\displaystyle 3 \) ha ordine \(\displaystyle 4 \), \(\displaystyle 9 \) ha ordine \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle \(\displaystyle 11 \) \) ha ordine \(\displaystyle 4 \) (è l'inverso moltiplicativo di 3).
Questo ci dice che \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16}^{\ast}\cong \mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{2} \). Se vuoi puoi calcolarti gli ordini di ogni altro elemento.
Mm dunque , ciò che fai è sicuramente corretto. Tuttavia io negli esercizi non tratto questo anello $Z_16$ e anche l'ultima parte che hai scritto mi è nuova. Negli esercizi mi viene dato un elemento ad esempio , e mi viene chiesto di vedere se è un generatore per un certo gruppo moltiplicativo . Io ragiono così:
trovo tutti i possibili ordini di un certo elemento, ossia i sottomultipli della caratteristica del campo. Trovo poi il polinomio irriducibile per effettuare le divisioni successivamente . A questo punto vedo se elevando quell'elemento a quei sottomultipli , e facendo i prodotti e divisioni usuali , viene l'unità, altrimenti significa che è un generatore .
trovo tutti i possibili ordini di un certo elemento, ossia i sottomultipli della caratteristica del campo. Trovo poi il polinomio irriducibile per effettuare le divisioni successivamente . A questo punto vedo se elevando quell'elemento a quei sottomultipli , e facendo i prodotti e divisioni usuali , viene l'unità, altrimenti significa che è un generatore .
Il metodo standard per trovare gli ordini è quello che ho scritto io sopra (il modulo è sostituito da altro se si cambia il gruppo). Metodi specifici esistono però per gruppi specifici.
Detto questo, se tu ti trovi in un campo il discorso che fai mi pare alquanto strano. Prima di tutto perché \(GF(p^n)^{\ast}\) ha ordine \(p^n-1\) e pertanto i possibili ordini di un certo elemento non sono certo i sottomultipli della caratteristica del campo (che è tra l'altro sempre un numero primo e quindi non ha sottomultipli diversi da 1 e se stesso) ma non ha alcun legame con essa. Non capisco esattamente cosa tu intenda per trovare il polinomio irriducibile, ma con la teoria dei gruppi ha poco/nulla a che fare. Direi che è un metodo ad hoc per quel gruppo e che comunque hai qualche confusione a riguardo (o forse non riesci a farti capire).
Prova a mostrare un esempio risolto, così ci capiamo. Comunque questo corso mi pare sempre più insensato.
Detto questo, se tu ti trovi in un campo il discorso che fai mi pare alquanto strano. Prima di tutto perché \(GF(p^n)^{\ast}\) ha ordine \(p^n-1\) e pertanto i possibili ordini di un certo elemento non sono certo i sottomultipli della caratteristica del campo (che è tra l'altro sempre un numero primo e quindi non ha sottomultipli diversi da 1 e se stesso) ma non ha alcun legame con essa. Non capisco esattamente cosa tu intenda per trovare il polinomio irriducibile, ma con la teoria dei gruppi ha poco/nulla a che fare. Direi che è un metodo ad hoc per quel gruppo e che comunque hai qualche confusione a riguardo (o forse non riesci a farti capire).
Prova a mostrare un esempio risolto, così ci capiamo. Comunque questo corso mi pare sempre più insensato.
Intendevo dire non della caratteristica del campo scusa , ma che se ho GF(16)* , allora ha 15 elementi e un suo elemento ha ordine 3 o 5 o essere un generatore . Nell immagine sotto ti faccio vedere il ragionamento in GF(16)
Capito. È esattamente come facevo io, seppur abbia un modo di approcciare le cose da teorico dei campi più che teorico dei gruppi. La parte con i polinomi è solo per mostrare come si moltiplicano gli elementi di quel campo. Ma per gli ordini si mette a calcolare tutti i prodotti a mano. Per l'esercizio 9.2.12 esiste un metodo più elegante e generico. Infatti se l'ordine di un gruppo è dispari allora ogni elemento ha ordine dispari, ma allora la radice quadrata di ogni elemento \(g\) è \(\displaystyle g^{\lceil o(g)/2\rceil}\).
Il 9.2.12 ancora non l 'ho fatto. Pensavo di fare tutto bene anche nei prodotti ma mi accorgo che sbaglio nei resti. Ossia : dopo aver fatto la moltiplicazione modulo n tra due polinomi vado a dividere per il polinomio irriducibile. Pensavo di dovere trasformare i coefficienti del resto solo a fine divisione mentre vanno trasformati a modulo n anche nelle divisioni intermedie ( ad esempio se il quoziente è t+2 dovrai prima moltiplicare il divisore per -t e poi per -2 facendo le sottrazioni col dividendo). Tuttavia spesso mi vengono dei numeri negativi e non so come portarli a modulo n... sbagliavo perché ne prendevo il modulo è li portavo a positivi. Come fare quindi ?
I negativi sono meno problematici di quel che pensi: \(-a \equiv n-a \pmod{n}\).
1) è corretto fare queste equivalenze?
In Z_3
3. 4 5
0. 1 2
-3 -2 -1
In Z5
5 6 7 8. 9
0. 1. 2. 3. 4
-5 -4 -3 -2 -1
2) ciò che hai scritto tu da dove lo hai ricavato?
In Z_3
3. 4 5
0. 1 2
-3 -2 -1
In Z5
5 6 7 8. 9
0. 1. 2. 3. 4
-5 -4 -3 -2 -1
2) ciò che hai scritto tu da dove lo hai ricavato?
Segue dalla definizione di \(\mathbb{Z}_n\). Non ho comunque capito il senso delle tue equivalenze. Comunque penso che la risposta è che siano sbagliate. Dei elementi sono congruenti modulo \(n\) se la loro differenza è un multiplo di \(n\), per definizione.
L'equivalenza , ad esempio in Z_5 se mi viene un -4 mi diventa 1. Secondo il tuo ragionamento dovrebbe essere 2-(-4)mod 5 , ossia 2?
Dove hai preso il 2 nel mio ragionamento? Io dico che è \(\displaystyle -4 \!\!\!\mod{\!5} \equiv 5 - 4 \!\!\!\mod{\!5} \equiv 1 \!\!\!\mod{\!5} \)
Usando le mie equivalenze tornano uguali mi sembra , mi confermi che vanno bene anche le altre?
Si sono corrette.
Grazie
Ci sono però degli esercizi in cui il prodotto mi viene di grado inferiore al grado del polinomio divisore irriducibile , come qua.. dove sbaglio ?
Ci sono però degli esercizi in cui il prodotto mi viene di grado inferiore al grado del polinomio divisore irriducibile , come qua.. dove sbaglio ?
Non so se si vede bene, se vuoi scrivo la parte interessata ( ossia l'ultima ). Se ho un elemento che elevato ad una certa Potenza mi viene con grado inferiore al polinomio irriducibile, allora il risultato è proprio il polinomio trovato dopo l elevazione a Potenza oppure ho sbagliato qualcosa ?
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