Ordine di cicli disgiunti

[micheleolivo]

Ciao a tutti
Sto risolvendo un esercizio di Algebra dove, date due permutazioni $\sigma$ e $\tau$, devo calcolare tra le altre cose, gli ordini, e l'ordine di $(\sigma @ \tau)$ [che mi risulta 7], e fino a quì nessun problema.
Il mio problema è che mi viene chiesto se $(\sigma @ \tau)^-1005$ ha ordine 10.

Avrei la possibilità di calcolare l'ordine della permutazione "svolgendola" (scusate il termine ma non so come esprimermi), me non è questo che viene richiesto nell'esercizio.
Come posso fornire una soluzione?

[mistake89]

Si tratta di calcolare $((sigma \circ tau)^(-1005))^(10)$ e verificare se è la permutazione identica.

Ovviamente svolgere questo calcolo a mano non è possibile.

Sai però che la tua permutazione ha ordine $7$ quindi $(sigma \circ tau)^7=id$. E quindi anche $(sigma \circ tau)^(7n)=id$ con $n in ZZ$.
Quindi si tratta di capire a quanto è congruo $-1005$ modulo $7$. Ovvero ovvero scrivere $-1005$ nella forma $7k+r$. Risulterà allora $(sigma \circ tau)^(-1005)= (sigma \circ tau)^r$.
Ripeti lo stesso ragionamento per l'esponente $10$ e vedi un po' se riesci a risolvere

[micheleolivo]

Si, beh, con il termine svolgerla intendevo proprio come mi hai indicato tu, che mi risulta:
$(\sigma @ \tau)^-1005=(\sigma @ \tau)^(-144*7 + 3)$
quindi
$(\sigma @ \tau)^-1005=(\sigma @ \tau)^3$
Però, detto questo, come posso affermare se ha o non ha ordine $10$?

[EDIT] Ad esempio:
$(\sigma @ \tau)=(1)(2)(3 4 8 9 5 6 7)$
$o(\sigma @ \tau)=mcm(1, 7)=7$
Se è corretto poi ho:
$(\sigma @ \tau)^-1005=(\sigma @ \tau)^3=(1)(2)(3 8 5 7 4 9 6)$
Che ha sempre ordine $7$.

[mistake89]

Ma a noi in definitiva interessa calcolare $(sigma \circ tau)^(3*10)$. E questo sappiamo che è uguale a $(sigma \circ tau)^2$. Avendo ordine $7$ tale permutazione non sarà quella identica. Quindi no, non ha periodo $10$

[micheleolivo]

Scusa ma sono una zappa e continuo a non capire, anche perchè ad esempio in un'altro esercizio ho $o(\sigma @ \tau)=14$ (trovato durante lo svolgimento delle varie fasi dell'esercizio) e mi viene chiesto se $(\sigma @ \tau)^-174389$ ha ordine $12$.
Ricordo che per una risposta rapida, bastava controllare che $12$ dividesse qualcosa, ma non trovo riscontro da nessuna parte, chiedo aiuto perchè in sede d'esame lavorare con cifre tipo $-174389$ può generare errori (non avendo a disposizione una calcolatrice...).

[Studente Anonimo]

Ciao

"micheleolivo":Scusa ma sono una zappa e continuo a non capire, anche perchè ad esempio in un'altro esercizio ho $o(\sigma @ \tau)=14$ (trovato durante lo svolgimento delle varie fasi dell'esercizio) e mi viene chiesto se $(\sigma @ \tau)^-174389$ ha ordine $12$.

Svolgimento 1 (il più semplice): dato che l'ordine di ogni potenza di [tex]\sigma \circ \tau[/tex] divide l'ordine di [tex]\sigma \circ \tau[/tex] (dato che detto [tex]n[/tex] l'ordine di [tex]\sigma \circ \tau[/tex] si ha [tex]((\sigma \circ \tau)^k)^n = ((\sigma \circ \tau)^n)^k = 1^k = 1[/tex]) e [tex]12[/tex] non divide [tex]14[/tex], nessuna potenza di [tex]\sigma \circ \tau[/tex] ha ordine [tex]12[/tex]. I soli ordini possibili di una potenza di [tex]\sigma \circ \tau[/tex] sono [tex]1,2,7,14[/tex] (i divisori di [tex]14[/tex]).

Svolgimento 2 (il più generalizzabile): dato che [tex]\sigma \circ \tau[/tex] ha ordine 14 puoi aggiungere o togliere all'esponente multipli di 14 senza alterare il risultato (per lo stesso motivo per esempio [tex](\sigma \circ \tau)^{30} = (\sigma \circ \tau)^{28} (\sigma \circ \tau)^2 = (\sigma \circ \tau)^2[/tex]). In questo modo rimpicciolisci l'esponente fino a farlo diventare comprensibile.

[tex](\sigma \circ \tau)^{-174389} = (\sigma \circ \tau)^{-34389}[/tex] (ho aggiunto [tex]140000=14 \cdot 10000[/tex])
[tex]= (\sigma \circ \tau)^{-6389}[/tex] (ho aggiunto [tex]28000 = 14 \cdot 2000[/tex])
[tex]= (\sigma \circ \tau)^{611}[/tex] (ho aggiunto [tex]7000 = 14 \cdot 500[/tex])
[tex]= (\sigma \circ \tau)^{-89}[/tex] (ho tolto [tex]700 = 14 \cdot 50[/tex])
[tex]= (\sigma \circ \tau)^{-19}[/tex] (ho aggiunto [tex]70 = 14 \cdot 5[/tex])
[tex]= (\sigma \circ \tau)^9[/tex] (ho aggiunto [tex]28 = 14 \cdot 2[/tex])

ha ordine [tex]14[/tex] anche lui, dato che [tex](9,14)=1[/tex] (il massimo comun divisore di [tex]9[/tex] e [tex]14[/tex] è [tex]1[/tex]).

Svolgimento 3 (il più generale): se hai un elemento [tex]g[/tex] di ordine [tex]n[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] allora dato un intero positivo [tex]m[/tex],

l'ordine di [tex]g^m[/tex] è [tex]n/(n,m)[/tex] (*)

dove [tex](n,m)[/tex] indica il massimo comun divisore di [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] (osserva che coerentemente con quanto detto nello svolgimento 1, [tex]n/(n,m)[/tex] divide [tex]n[/tex]). [Nota: (*) non è difficile da dimostrare]. Quindi calcolare l'ordine di una potenza equivale a calcolare un massimo comun divisore, e questo lo fai per esempio coll'algoritmo di Euclide. Nel tuo caso siccome [tex]-174389[/tex] e [tex]14[/tex] sono coprimi, [tex](\sigma \circ \tau)^{-174389}[/tex] ha ordine [tex]14/1=14[/tex].