Ordine del gruppo degli automorfismi di $Q_8$ (Gruppo dei quaternioni)
Salve a tutti ho il seguente esercizio e vorrei verificare che sia corretto: Determinare il gruppo degli automorfismi del gruppo $Q_8$.
Io ho ragionato così: Innanzitutto parlando di un generico automorfismo, so che l'identità deve andare in se stessa in quanto unico elemento di ordine 1. Inoltre so che $Q_8={+-1;+-i;+-j;+-k}$, l'elemento -1 è tale che o(-1)=2, siccome è l'unico elemento allora posso dire che in un generico automorfismo di $Q_8$ anche -1 va in se stesso. D'altronde so che $|Aut(Q_8)|<|Q_8-1|!$. Tutti gli altri elementi di $Q_8$ hanno ordine 4, quindi posso permutarli a piacere. Per cui avrò $6!$ permutazioni possibili. Mi verrebbe quindi da dire che l'ordine del gruppo degli automorfismi sia proprio quello, anche se c'è qualcosa che non mi torna...
Grazie a tutti per l'aiuto.
Io ho ragionato così: Innanzitutto parlando di un generico automorfismo, so che l'identità deve andare in se stessa in quanto unico elemento di ordine 1. Inoltre so che $Q_8={+-1;+-i;+-j;+-k}$, l'elemento -1 è tale che o(-1)=2, siccome è l'unico elemento allora posso dire che in un generico automorfismo di $Q_8$ anche -1 va in se stesso. D'altronde so che $|Aut(Q_8)|<|Q_8-1|!$. Tutti gli altri elementi di $Q_8$ hanno ordine 4, quindi posso permutarli a piacere. Per cui avrò $6!$ permutazioni possibili. Mi verrebbe quindi da dire che l'ordine del gruppo degli automorfismi sia proprio quello, anche se c'è qualcosa che non mi torna...
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
Come hai ben detto tu $1$ e $-1$ vanno in se stessi.
Pertanto per un generico elemento diverso da $1$ e da $-1$ (ad esempio per $i$) hai 6 scelte possibili. Una volta scelta l'immagine di $i$, di conseguenza, è determinata l'immagine di $-i$ (ad esempio se scegli $g(i)=j$ allora $g(-i)=-g(i)=-j$). A questo punto ti rendi conto che scegliendo l'immagine di un altro generico elemento "rimasto" (ad esempio $j$) avrai 4 sole scelte, in quanto $g(j) in {i,-i,j,-j,k,-k} - {g(i),g(-i)}$.
A questo punto il gioco è fatto perché ti renderai conto che le altre immagini sono univocamente determinate.
Pertanto avremo che:
$ |Aut(Q_8)|=6*4=24 $
Pertanto per un generico elemento diverso da $1$ e da $-1$ (ad esempio per $i$) hai 6 scelte possibili. Una volta scelta l'immagine di $i$, di conseguenza, è determinata l'immagine di $-i$ (ad esempio se scegli $g(i)=j$ allora $g(-i)=-g(i)=-j$). A questo punto ti rendi conto che scegliendo l'immagine di un altro generico elemento "rimasto" (ad esempio $j$) avrai 4 sole scelte, in quanto $g(j) in {i,-i,j,-j,k,-k} - {g(i),g(-i)}$.
A questo punto il gioco è fatto perché ti renderai conto che le altre immagini sono univocamente determinate.
Pertanto avremo che:
$ |Aut(Q_8)|=6*4=24 $
Il fatto che scelto ad esempio $g(i)=j$ implica $g(-i)=-g(i)=-j$ deriva dal fatto che nel gruppo dei quaternioni l'inverso è dato ponendo il segno meno davanti all'elemento? Non è una peculiarità degli automorfismi, o sbaglio? Cioé devo fare attenzione alla struttura del gruppo e fare in modo che tutto si conservi, in questo caso gli inversi.
Siccome, come hai scritto anche tu, abbiamo che $g(-1)=-1$ e non dimenticando che $g$ è un isomorfismo, allora:
$g(-i)=g(-1*i)=g(-1)*g(i)=-1*j=-j$
$g(-i)=g(-1*i)=g(-1)*g(i)=-1*j=-j$
Quindi hai usato semplicemente le proprietà degli omomorfismi; $g(ab)=g(a)g(b)$. Grazie mille dell'aiuto 
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Un ultima cosa, un consiglio: suggerimenti per evitare di fare errori in questo genere di esercizi?
.Un ultima cosa, un consiglio: suggerimenti per evitare di fare errori in questo genere di esercizi?
Esattamente 
e di che figurati!!
Purtroppo anche io spesso sbaglio e faccio errori (sto preparando l'esame di algebra). Credo che bisogna fare molti esercizi e vederne di tutti i colori comunque in questo caso non hai fatto errori ma non riuscivi solo ad andare avanti.
e di che figurati!!Purtroppo anche io spesso sbaglio e faccio errori (sto preparando l'esame di algebra). Credo che bisogna fare molti esercizi e vederne di tutti i colori
comunque in questo caso non hai fatto errori ma non riuscivi solo ad andare avanti.
Lo sto preparando anche io . Non mi resta che darti l'in bocca al lupo. Grazie ancora 
. Farò molti altri esercizi!
. Non mi resta che darti l'in bocca al lupo. Grazie ancora . Farò molti altri esercizi!
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