Ordine dei gruppi e degli elementi
Buongiorno, nonostante abbia cercato di capire dagli appunti e dal testo consigliato, mi trovo in difficoltà a comprendere questi fatti:
"Un gruppo ciclico di ordine 4 contiene esattamente due elementi di ordine 4."
COME FACCIO A DEDURLO?
"Un gruppo non ciclico di ordine 4 contiene 3 elementi di ordine 2 e un elemento di ordine 1."
COME FACCIO A DEDURLO?
Grazie
"Un gruppo ciclico di ordine 4 contiene esattamente due elementi di ordine 4."
COME FACCIO A DEDURLO?
"Un gruppo non ciclico di ordine 4 contiene 3 elementi di ordine 2 e un elemento di ordine 1."
COME FACCIO A DEDURLO?
Grazie
Risposte
1) Prendi un gruppo ciclico di ordine $n$
$C_{n}=\{1,g,...,g^{n-1}\}$
Gli elementi di ordine $n$ sono tutti e soli i suoi generatori di $C_{n}$ e questi sono del tipo $g^k$ con $1\le k \le n-1$ primo con $n$.
Nel tuo caso, oltre $g$, hai che $g^3$ è un generatore; $g^2$ ha periodo 2.
2) Un gruppo non ciclico di ordine 4 non può contenere elementi di ordine 4 (altrimenti sarebbe ciclico): per il teorema di Lagrange gli ordini degli elementi non banali deveno essere per forza 2.
Un tale gruppo è del tipo
$V_{4}={1,x,y,xy}$ con $x^2=y^2=(xy)^2=1$
$C_{n}=\{1,g,...,g^{n-1}\}$
Gli elementi di ordine $n$ sono tutti e soli i suoi generatori di $C_{n}$ e questi sono del tipo $g^k$ con $1\le k \le n-1$ primo con $n$.
Nel tuo caso, oltre $g$, hai che $g^3$ è un generatore; $g^2$ ha periodo 2.
2) Un gruppo non ciclico di ordine 4 non può contenere elementi di ordine 4 (altrimenti sarebbe ciclico): per il teorema di Lagrange gli ordini degli elementi non banali deveno essere per forza 2.
Un tale gruppo è del tipo
$V_{4}={1,x,y,xy}$ con $x^2=y^2=(xy)^2=1$
Non ho capito perdonami:
Ma di $g$, $g^2$, $g^3$ quali di questi ha ordine $4$ ? E perché sono $2$? E che differenza c'è tra periodo e ordine? Nel senso $g^2$ ha ordine $2$ perché?
Ma di $g$, $g^2$, $g^3$ quali di questi ha ordine $4$ ? E perché sono $2$? E che differenza c'è tra periodo e ordine? Nel senso $g^2$ ha ordine $2$ perché?
Nel caso del gruppo non ciclico perché l'ordine deve essere proprio $2$ e non altri numeri tipo $3$?
Non sto davvero capendo questi concetti necessari per gli esercizi
Non sto davvero capendo questi concetti necessari per gli esercizi
L'ordine o periodo di un elemento $g$ di un gruppo $G$ è il più piccolo intero $n$, se esiste, tale che $g^n=1$. Quando non esiste diciamo che $g$ ha ordine infinito.
Quando esiste, l'ordine di un elememto coincide con l'ordine
del sottogruppo generato da $g$, cioè $\langle g\rangle=\{1,g,...,g^{n-1}\}$. In particolare, se $G$ è finito, per il teorema di Lagrange, l'ordine di $g$ divide l'ordine del gruppo $G$.
Quindi in un gruppo di ordine 4 non puoi avere elementi di periodo/ordine 3
In un gruppo ciclico di ordine 4 generato da $g$,
- 1 ha ordine 1;
- $g$ e $g^3$ hanno ordine 4;
- $g^2$ ha ordine 2
Quando esiste, l'ordine di un elememto coincide con l'ordine
del sottogruppo generato da $g$, cioè $\langle g\rangle=\{1,g,...,g^{n-1}\}$. In particolare, se $G$ è finito, per il teorema di Lagrange, l'ordine di $g$ divide l'ordine del gruppo $G$.
Quindi in un gruppo di ordine 4 non puoi avere elementi di periodo/ordine 3
In un gruppo ciclico di ordine 4 generato da $g$,
- 1 ha ordine 1;
- $g$ e $g^3$ hanno ordine 4;
- $g^2$ ha ordine 2
Ho capito ma fino a un certo punto! Provo a scrivere bene tutto.
Essendo $G$ un gruppo ciclico di ordine $4$ vuol dire che
$C_4={1,g,g^2,g^3}$
A sua volta ogni $g$ genera un sottogruppo di $G$ e l'ordine di questa $g$ è il più piccolo numero intero $d$ tale che $g^d=1$ e questo numero $d$ divide l'ordine di $G$ se $G$ è un gruppo non ciclico...fino a qui è corretto?
Dopo non ho capito molto bene e provo a scrivere ciò che io ho inteso
$1$ a sua volta genera ${1}$ dunque l'ordine è $d=1$
$g$ genera ${1,g^1,g^2,g^3...}$ cioè tutte le potenze di $g$ tranne che qui essendo il gruppo $G$ di ordine $4$ ci si ferma a 4 perché $g^d=g^4=1$ giusto?
$g^2$ genera ${1,g^2,g^4,g^6,g^8,...}$ e quindi
$g^d=(g^2)^2=1$
Ma poi perché con $g^3$ diciamo che $g^6=g^2$ e $g^9=g$ e cosi via?
Ho capito però che $g^d=(g^3)^4=1$
Essendo $G$ un gruppo ciclico di ordine $4$ vuol dire che
$C_4={1,g,g^2,g^3}$
A sua volta ogni $g$ genera un sottogruppo di $G$ e l'ordine di questa $g$ è il più piccolo numero intero $d$ tale che $g^d=1$ e questo numero $d$ divide l'ordine di $G$ se $G$ è un gruppo non ciclico...fino a qui è corretto?
Dopo non ho capito molto bene e provo a scrivere ciò che io ho inteso
$1$ a sua volta genera ${1}$ dunque l'ordine è $d=1$
$g$ genera ${1,g^1,g^2,g^3...}$ cioè tutte le potenze di $g$ tranne che qui essendo il gruppo $G$ di ordine $4$ ci si ferma a 4 perché $g^d=g^4=1$ giusto?
$g^2$ genera ${1,g^2,g^4,g^6,g^8,...}$ e quindi
$g^d=(g^2)^2=1$
Ma poi perché con $g^3$ diciamo che $g^6=g^2$ e $g^9=g$ e cosi via?
Ho capito però che $g^d=(g^3)^4=1$
"Aletzunny":
Ho capito ma fino a un certo punto! Provo a scrivere bene tutto.
Essendo $G$ un gruppo ciclico di ordine $4$ vuol dire che
$C_4={1,g,g^2,g^3}$
A sua volta ogni $g$ genera un sottogruppo di $G$ e l'ordine di questa $g$ è il più piccolo numero intero $d$ tale che $g^d=1$ e questo numero $d$ divide l'ordine di $G$ se $G$ è un gruppo non ciclico...fino a qui è corretto?
Perchè hai aggiunto "se $G$ non è un gruppo ciclico"? $d$ divide $G$ per il teorema di Lagrange, che vale per tutti i gruppi finiti.
"Aletzunny":
$1$ a sua volta genera ${1}$ dunque l'ordine è $d=1$
$g$ genera ${1,g^1,g^2,g^3...}$ cioè tutte le potenze di $g$ tranne che qui essendo il gruppo $G$ di ordine $4$ ci si ferma a 4 perché $g^d=g^4=1$ giusto?
$g^2$ genera ${1,g^2,g^4,g^6,g^8,...}$ e quindi
$g^d=(g^2)^2=1$
Ma poi perché con $g^3$ diciamo che $g^6=g^2$ e $g^9=g$ e cosi via?
Ho capito però che $g^d=(g^3)^4=1$
La procedura é questa. Prendi $G$ gruppo finito qualsiasi e $g\in G$ con periodo $d$. Ci chiediamo: a quale elemento corrisponde $g^n$, con $n$ intero qualsiasi?
Si fa così: dividiamo $n$ per $d$ così da avere $n=qd+r$ con $q,r$ quoziente e resto della divisione euclidea. Ne deduciamo che
$g^n=g^{qd+r}=g^{qd}g^r=(g^d)^q g^r=g^r$
Esempio. $g^9=g^{4\cdot 2+1}=g$, $g^34=g^{4\cdot 8+2}=g^2$
Perfetto quindi $d$ divide l'ordine di $G$ qualsiasi sia $G$.
Invece provo a vedere se ho capito con un esempio:
Ad esempio preso un gruppo ciclico $G$ di ordine $6$.
Preso un $g in G$ so che
$$ $=$ ${1,g,g^2,g^3,g^4,g^5}$ e quindi
$1$ ha ordine $1$
$g$ ha ordine $6$
$g^2$ ha ordine $3$
$g^3$ ha ordine $2$
$g^4$ ha ordine $3$
$g^5$ ha ordine $6$
Dunque $G=$ contiene esattamente $2$ elementi di ordine $6$
Corretto?
Invece provo a vedere se ho capito con un esempio:
Ad esempio preso un gruppo ciclico $G$ di ordine $6$.
Preso un $g in G$ so che
$
$1$ ha ordine $1$
$g$ ha ordine $6$
$g^2$ ha ordine $3$
$g^3$ ha ordine $2$
$g^4$ ha ordine $3$
$g^5$ ha ordine $6$
Dunque $G=
Corretto?
Se invece $G$ fosse non ciclico di ordine $6$ i suoi elementi non posso avere ordine $6$ ma un ordine che divide $6$ quindi $2$ o $3$. Giusto?
Però non ho capito bene come sono gli elementi di $G$ non ciclico
Però non ho capito bene come sono gli elementi di $G$ non ciclico
E' giusto ciò che hai fatto e ricorda che $G$ deve essere finito per parlare di divisibilità. Anzi, forse, vale questa cosa
Nota che abbiamo inconsciamente classificato tutti i gruppi di ordine 4.
Per quanto riguarda i gruppi di ordine 6 non ciclici, gli elementi non banali, come dici giustamente, hanno ordine 2 o 3. Per altro si dimostra che ogni gruppo di ordine 6 è isomorfo a $S_{3}$, il gruppo delle permutazioni di un insieme di 3 elementi o il gruppo $D_{6}$ delle isometrie del piano che lasciano "immutato" un triangolo equilatero.
Per esempio, la riflessione rispetto un'altezza è un elemento di ordine 2 mentre la rotazione di 60 gradi rispetto il centro ha ordine 3.
Sia $G$ un gruppo ciclico e $g\in G$ un generatore. Per ogni $k\le 1\le n-1$ si ha
\[
(n,k)o(g^{k})=n
\]
dove $o(g^{k})$ è l'ordine di $g^{k}$ e $(n,k)$ è il massimo comun divisore fra $n$ e $k$
Nota che abbiamo inconsciamente classificato tutti i gruppi di ordine 4.
Sia $G$ un gruppo di ordine 4. Allora $G$ è isomorfo a $C_{4}$ o a $V_{4}$
Per quanto riguarda i gruppi di ordine 6 non ciclici, gli elementi non banali, come dici giustamente, hanno ordine 2 o 3. Per altro si dimostra che ogni gruppo di ordine 6 è isomorfo a $S_{3}$, il gruppo delle permutazioni di un insieme di 3 elementi o il gruppo $D_{6}$ delle isometrie del piano che lasciano "immutato" un triangolo equilatero.
Per esempio, la riflessione rispetto un'altezza è un elemento di ordine 2 mentre la rotazione di 60 gradi rispetto il centro ha ordine 3.
Grazie davvero
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