Ordinamento totale sull'insieme delle applicazioni

[Frodo478]

Salve, vi propongo il seguente problema.
Se $ \mathbb{Z}^{\mathbb{N}} $ è l'insieme di tuttle le applicazioni di $ \mathbb{N} $ in $ \mathbb{Z} $ ed $ f, g \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}} $ definiamo $ f <= g $ se $ f(x) <= g(x) $ per ogni $ n \in \mathbb{N} $.
Si dimostri che $ (\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}, \leq) $ è un insieme parzialmente ordinato e che non è totalmente ordinato.

Per il primo punto non ci sono problemi in quanto la relazione $ \leq $ è un ordinamento su $ \mathbb{Z} $, quindi è riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

Come posso dimostrare che non è totalmente ordinato?
Se non sbaglio dovrei dimostrare che per ogni $ f, g \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}} $ o $ f(x) \leq g(x) $ oppure $ g(x) \leq f(x) $ per ogni $ n \in \mathbb{N} $.

[Gi81]

Per dimostrare che $(ZZ^(NN),<=)$ non è totalmente ordinato, basta dare un controesempio,
cioè trovare $f,g in ZZ^(NN)$ tali che esistono $n,m in NN$ tali che $f(n)g(m)$.

Definiamo $f,g in ZZ^(NN)$ nel seguente modo: $f(x)= x$, $g(x)=1-x$
Si ha $f(0)=0<1=g(0)$ e $f(1)=1 >0 =g(1)$. Fine

[Frodo478]

Grazie