Ordinamento e insiemi-quoziente
Sia $E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }$ un insieme in cui sia assegnato un ordinamento secondo lo schema seguente (mi sembra sia abbastanza chiaro):
Consideriamo la relazione $R( x , y ) : ( x <= y ) e ( y <= x )$ (che è una relazione di equivalenza). Consideriamo poi l'insieme - quoziente $E$/$R$ relativo all'equivalenza $R$.
E' vero che alle classi di equivalenza, $[1], [2], ... , [10]$ appartengono solamente gli elementi rappresentanti? Mi spiego meglio...
$[1] = {1}$ , $[2] = {2}$ , ... , $ [10] = {10}$ ... E' corretto?
Dovrebbe essere così proprio perché vale la proprietà antisimmetrica (infatti si tratta di un ordinamento).
Consideriamo la relazione $R( x , y ) : ( x <= y ) e ( y <= x )$ (che è una relazione di equivalenza). Consideriamo poi l'insieme - quoziente $E$/$R$ relativo all'equivalenza $R$.
E' vero che alle classi di equivalenza, $[1], [2], ... , [10]$ appartengono solamente gli elementi rappresentanti? Mi spiego meglio...
$[1] = {1}$ , $[2] = {2}$ , ... , $ [10] = {10}$ ... E' corretto?
Dovrebbe essere così proprio perché vale la proprietà antisimmetrica (infatti si tratta di un ordinamento).
Risposte
I) Hai postato nella sezione errata in quanto questo è argomento di Algebra e l'hai messo nella sezione di Analisi Matematica.
II) L'ordinamento dato su $E$ è stretto per cui è una relazione antisimmetrica (tra le altre cose) su di esso, ciò giustifica che la relazione d'equivalenza da te considerata è la relazione identica!
II) L'ordinamento dato su $E$ è stretto per cui è una relazione antisimmetrica (tra le altre cose) su di esso, ciò giustifica che la relazione d'equivalenza da te considerata è la relazione identica!
"j18eos":
I) Hai postato nella sezione errata in quanto questo è argomento di Algebra e l'hai messo nella sezione di Analisi Matematica.
II) L'ordinamento dato su $E$ è stretto per cui è una relazione antisimmetrica (tra le altre cose) su di esso, ciò giustifica che la relazione d'equivalenza da te considerata è la relazione identica!
II) Grazie della conferma...
I) Sono nozioni di algebra molto generali che possono benissimo rientrare nella sezione di Analisi Matematica. Quindi la sezione non è propriamente sbagliata. Sono contenute nei primi capitoli del mio libro di Analisi...
Seconda questione:
Il mio libro definisce preordinamento una relazione d'ordine riflessiva e transitiva.
Si sa che se un preordinamento soddisfa anche la proprietà simmetrica, si tratta di una equivalenza. Se soddisfa quella antisimmetrica, si tratta di una relazione d'ordine (non obbligatoriamente totale).
Qualcuno sa fornirmi un esempio (se esiste) di un preordinamento che non sia né un ordinamento né una relazione di equivalenza?
Il mio libro definisce preordinamento una relazione d'ordine riflessiva e transitiva.
Si sa che se un preordinamento soddisfa anche la proprietà simmetrica, si tratta di una equivalenza. Se soddisfa quella antisimmetrica, si tratta di una relazione d'ordine (non obbligatoriamente totale).
Qualcuno sa fornirmi un esempio (se esiste) di un preordinamento che non sia né un ordinamento né una relazione di equivalenza?
"Seneca":
Qualcuno sa fornirmi un esempio (se esiste) di un preordinamento che non sia né un ordinamento né una relazione di equivalenza?
Su un insieme prodotto cartesiano. Metti ad esempio di definire su $ZZ times ZZ$ la relazione $rho$: $(x,y)rho(x',y') iff x <=x'$
E' riflessiva e pure transitiva (a te la verifica). Eppure non è nè simmetrica nè antisimmetrica (riesci infatti solo a concludere che $x=x'$ che non è sufficiente per l'uguaglianza delle coppie).
Ok?
"Seneca":[mod="Martino"]Capisco, ma le relazioni sono un argomento che rientrano nel ramo "algebra". Ti prego di tenere conto di questo in futuro. Grazie.[/mod]
Sono nozioni di algebra molto generali che possono benissimo rientrare nella sezione di Analisi Matematica. Quindi la sezione non è propriamente sbagliata. Sono contenute nei primi capitoli del mio libro di Analisi...
"Paolo90":
[quote="Seneca"]Qualcuno sa fornirmi un esempio (se esiste) di un preordinamento che non sia né un ordinamento né una relazione di equivalenza?
Su un insieme prodotto cartesiano. Metti ad esempio di definire su $ZZ times ZZ$ la relazione $rho$: $(x,y)rho(x',y') iff x <=x'$
E' riflessiva e pure transitiva (a te la verifica). Eppure non è nè simmetrica nè antisimmetrica (riesci infatti solo a concludere che $x=x'$ che non è sufficiente per l'uguaglianza delle coppie).
Ok?
[/quote]Era quel che cercavo! Grazie mille, Paolo.
@ Martino:
Chiedo venia. Terrò presente la seguente situazione per non errare in futuro. Grazie.
"Paolo90":
[quote="Seneca"]Qualcuno sa fornirmi un esempio (se esiste) di un preordinamento che non sia né un ordinamento né una relazione di equivalenza?
Su un insieme prodotto cartesiano. Metti ad esempio di definire su $ZZ times ZZ$ la relazione $rho$: $(x,y)rho(x',y') iff x <=x'$
E' riflessiva e pure transitiva (a te la verifica). Eppure non è nè simmetrica nè antisimmetrica (riesci infatti solo a concludere che $x=x'$ che non è sufficiente per l'uguaglianza delle coppie).
Ok?
[/quote]Questa è una relazione definita su $ZZ^2 times ZZ^2$, giusto?
No, su $ZZ^2$ al più!
E' vero, che tonto.. Grazie..
Prego!
"Paolo90":Una costruzione più generale è questa: prendiamo un insieme A, un altro insieme B e una funzione [tex]f:A \to B[/tex]. Sia [tex]\tau[/tex] una relazione su B. Definiamo la relazione [tex]\rho[/tex] su A dicendo che [tex]a_1 \rho a_2[/tex] se [tex]f(a_1) \tau f(a_2)[/tex]. [tex]\rho[/tex] è riflessiva se lo è [tex]\tau[/tex], è transitiva se lo è [tex]\tau[/tex] ed è simmetrica se lo è [tex]\tau[/tex] (se [tex]f[/tex] è suriettiva valgono anche i viceversa). L'antisimmetria è preservata (nel senso che se [tex]\tau[/tex] è antisimmetrica allora [tex]\rho[/tex] lo è) se e solo se [tex]f[/tex] è iniettiva.
Metti ad esempio di definire su $ZZ times ZZ$ la relazione $rho$: $(x,y)rho(x',y') iff x <=x'$
In particolare uno può per esempio ottenere un sacco di preordinamenti non simmetrici né antisimmetrici su un insieme [tex]A[/tex] costruendo funzioni non iniettive [tex]A \to \mathbb{N}[/tex] (il che equivale a partizionare A con una quantità al più numerabile di blocchi e numerarli), e dando ad [tex]\mathbb{N}[/tex] l'usuale ordinamento [tex]\leq[/tex].
L'idea è che uno prende un ordinamento e lo rende "grossolano", facendo corrispondere a più oggetti lo stesso ruolo, per uccidere l'antisimmetria.
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