Ordinamento dei quadrati e dubbi

[Neptune2]

Salve a tutti, ho qualche dubbio sulla seguente dimostrazione riguardo all'ordinamento dei quadrati, più in particolare sulla seconda parte:

Proposizione: $x,y in QQ$ con $x,y>0$ allora $x^2>y^2 hArr x>y$

Dim:

$(larr)$
$x>y, x>0$

* per la compatibilità della moltiplicazione
$x*x>y*x$
ma $x>y$ ed $y>0$ $=>$ $x*y>y*y$
* per transitività
$x*x>y*y$ ovvero $x^2>y^2$

$(rarr)$

$x <=y, x>0 => x*x <= x*y$
$x <=y, y>0 => x*y <= y*y$

Per transitività queste due proposizioni $=>$ $x*x<=y*y$ ovvero $x^2<=y^2$

Quello che non capisco è, inanzi tutto perchè all'inizio c'è il simbolino che dice che dimostra da sinistra verso destra, quando parte dal presupposto che $x^2>y^2$ e dimostra l'altra parte? a me pare che faccia il contrario

Poi sulla seconda parte non dovrebbe partire proprio da $x>y$? ed anche da dove esce quel $x<=y$ se noi stiamo dimostrando che $x>y$? confusione? e poi ammesso la confusione non dovrebbe scrivere minore stretto? ho si è confusa anche sull'uguale o magari sfugge qualcosa a me?

Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto,
Neptune.

[Studente Anonimo]

Il fatto è che l'implicazione $x^2>y^2 rArr x>y$ è equivalente all'implicazione $x le y rArr x^2 le y^2$.

Più in generale l'implicazione $A rArr B$ è equivalente all'implicazione $"not"(B) rArr "not"(A)$.

[Neptune2]

"Martino":Il fatto è che l'implicazione $x^2>y^2 rArr x>y$ è equivalente all'implicazione $x le y rArr x^2 le y^2$.

Più in generale l'implicazione $A rArr B$ è equivalente all'implicazione $"not"(B) rArr "not"(A)$.

Giusto non ci avevo pensato, ma quindi, noi abbiamo la doppia implicazione: $x^2>y^2 hArr x>y$ e per dimostrarla dobbiamo dimostrare che:

$x^2>y^2 rarr x>y$ e $x>y rarr x^2>y^2$

Ma quindi la seconda parte dovrebbe essere la negazione di $x^2>y^2 rarr x>y$ ovvero $x<=y rarr x^2<= y^2$ ?

Mentre nel primo pezzo dimostra $x>y rarr x^2>y^2$ ? quindi ho solo sbagliato a mettere il senso "alle frecce"? dovrebbe dimostrare quindi prima il destra verso sinistra?

[Studente Anonimo]

"Neptune":la seconda parte dovrebbe essere la negazione di $x^2>y^2 rarr x>y$ ovvero $x<=y rarr x^2<= y^2$ ?

Quella non è la negazione, le due cose che hai scritto ($x^2>y^2 rarr x>y$ e $x<=y rarr x^2<= y^2$) sono equivalenti.

Mentre nel primo pezzo dimostra $x>y rarr x^2>y^2$ ? quindi ho solo sbagliato a mettere il senso "alle frecce"? dovrebbe dimostrare quindi prima il destra verso sinistra?

Non capisco cosa non capisci.

- Nella prima parte dimostra che $x>y rArr x^2>y^2$,
- nella seconda parte dimostra che $x le y rArr x^2 le y^2$, il che è equivalente a $x^2 > y^2 rArr x>y$.

Avendo dimostrato le due implicazioni $x>y rArr x^2>y^2$ e $x^2 > y^2 rArr x>y$, deduce che $x^2 > y^2 hArr x>y$.

[Neptune2]

"Martino":[quote="Neptune"]la seconda parte dovrebbe essere la negazione di $x^2>y^2 rarr x>y$ ovvero $x<=y rarr x^2<= y^2$ ?

Quella non è la negazione, le due cose che hai scritto ($x^2>y^2 rarr x>y$ e $x<=y rarr x^2<= y^2$) sono equivalenti.

Mentre nel primo pezzo dimostra $x>y rarr x^2>y^2$ ? quindi ho solo sbagliato a mettere il senso "alle frecce"? dovrebbe dimostrare quindi prima il destra verso sinistra?

Non capisco cosa non capisci.

- Nella prima parte dimostra che $x>y rArr x^2>y^2$,
- nella seconda parte dimostra che $x le y rArr x^2 le y^2$, il che è equivalente a $x^2 > y^2 rArr x>y$.

Avendo dimostrato le due implicazioni $x>y rArr x^2>y^2$ e $x^2 > y^2 rArr x>y$, deduce che $x^2 > y^2 hArr x>y$.[/quote]

Si scusami, è una tautologia, ho usato un temrine improprio.
Comunque si, perfetto... è che se guardi "il verso delle frecce" sono messi al contrario, e per questo non mi trovavo.