Orbite e Stabilizzatori di un'azione

[manuxy84]

Ecco ancora un po' algebra

Sia $S=ZZ_9 x ZZ_9$ e sia $ZZ_9^x$ il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $ZZ_9$.
Considerata l'azione
$f: ZZ_9^x x S \to S$ che manda $(bar k, (bar n, bar m)) \to (bar kn, bar km)$

a) Calcolare le orbite e gli stabilizzatori degli elementi $(bar 2, bar 4)$ e $(bar 3, bar 6)$
b) Calcolare il numero di orbite dell'azione.

Grazie

[vict85]

"manuxy84":Ecco ancora un po' algebra

Sia $S=ZZ_9 x ZZ_9$ e sia $ZZ_9^x$ il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $ZZ_9$.
Considerata l'azione
$f: ZZ_9^x x S \to S$ che manda $(bar k, (bar n, bar m)) \to (bar kn, bar km)$

a) Calcolare le orbite e gli stabilizzatori degli elementi $(bar 2, bar 4)$ e $(bar 3, bar 6)$
b) Calcolare il numero di orbite dell'azione.

Grazie

Ma devi solo fare un po' di calcoli...

$ZZ_9^x = {1, 2, 4, 5, 7, 8}$

Stabilizzatore di $(\bar{2},\bar{4})$ è l'insieme degli elementi per cui $\bar{k}\cdot(\bar{2},\bar{4}) = (\bar{k}\bar{2},\bar{k}\bar{4}) = (\bar{2},\bar{4})$

Quindi si tratta di fare il sistema:
$\{ (\bar{k}\bar{2} = \bar{2}), (\bar{k}\bar{4} = \bar{4}):} quad -> quad \bar{k} = \bar{1}$ che è lo stabilizzatore dell'azione.
L'orbita è uguale a $\{(\bar{2},\bar{4}), (\bar{4},\bar{8}), (\bar{8},\bar{7}), (\bar{1},\bar{2}), (\bar{5},\bar{1}), (\bar{7},\bar{5})\}$

$(\bar{3},\bar{6})$...

$\{ (\bar{k}\bar{3} = \bar{3}), (\bar{k}\bar{6} = \bar{6}):} quad -> quad \bar{k} \in \{\bar{1}, \bar{4}, \bar{7}\}$
L'orbita è uguale a $\{(\bar{3},\bar{6}), (\bar{6},\bar{3})\}$

Per il numero delle orbite usa burnside...
Per calcolare gli elementi di $S$ che vengono stabilizzati da un certo elemento $\bar{k} \in ZZ_9^x$ pensa che: $\bar{k}$ stabilizza l'elemento $(\bar{x},\bar{y})$ se $(\bar{k-1})\cdot(\bar{x},\bar{y}) = (\bar{0},\bar{0})$