Operazioni tra naturali e rappresentazione posizionale

[Sk_Anonymous]

Salve!
Sto cercando di studiare in analisi gli insiemi numerici e tra i tanti dubbi ce n'è uno che non riesco a spiegarmi.
Cito una frase del testo che sto utilizzando(Pagani-Salsa): "la possibilità di eseguire agevolmente le operazioni dipende però in larga misura dalla rappresentazione scelta per i numeri naturali".
Chi mi spiega? Thanks!

[gugo82]

Senza conoscere il resto del paragrafo è un po' difficile capire cosa volessero intendere gli autori... Tuttavia ti posso dare qualche spunto.

Un'operazione tra numeri naturali, come la moltiplicazione ad esempio, è una funzione che ha certe proprietà formali.
Vedere la moltiplicazione in questo modo, però, non aiuta certo a calcolare il risultato della stessa: insomma, se tu volessi calcolare \(19\cdot 3\) usando la definizione di somma e quella di prodotto, cioè in maniera del tutto formale, dovresti fare millemila passi:
\[
\begin{split}
19 \cdot 3 &= 19 \cdot s(2) &\text{(qui } s \text{ è la funzione "successivo")}\\
&= 19+(19\cdot 2) \\
&=19+(19\cdot s(1))\\
&=19+(19+(19\cdot 1))\\
&=19+19+19\\
&= s(18)+s(18)+s(18)\\
&= 1+s(17)+1+s(17)+1+s(17)\\
&=\ldots \\
&= \underbrace{1+\cdots +1}_{57 \text{volte}}\\
&= \underbrace{1+\cdots+1}_{55 \text{volte}} + s(1)\\
&= \underbrace{1+\cdots+1}_{54 \text{volte}} + s(2)\\
&=\ldots\\
&= 1+s(55)\\
&= s(56)\\
&= 57\; .
\end{split}
\]
D'altra parte, avere una buona rappresentazione per i tuoi numeri aiuta a far di conto: ad esempio, usando la base \(2\) hai:
\[
\begin{split}
(19)_2\cdot (3)_2 &= 10011\cdot 11\\
&=10011\cdot (10 +1)\\
&= 10011\cdot 10 + 10011\cdot 1\\
&= 100110 + 10011\\
&= 111001\\
&= (57)_2\; .
\end{split}
\]
Probabilmente è a questo che si riferiscono gli autori.